[2020-2020学年湖北省恩施州中考数学试卷(有标准答案)(Word版)]

...

湖北省恩施州中考数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）

1．9的相反数是（）

A．﹣9 B．9 C．D．

2．恩施州2013年建筑业生产总值为36900万元，将数36900用科学记数法表示为（）A．3.69×105B．36.9×104C．3.69×104D．0.369×105

3．下列图标中是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．下列计算正确的是（）

A．2a3+3a3=5a6B．（x5）3=x8

C．﹣2m（m﹣3）=﹣2m2﹣6m D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）=9a2﹣4

5．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°

6．函数y=的自变量x的取值范围是（）

A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠2

7．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（）

A．B．C．D．

8．在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字．如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（）

A．恩B．施C．城D．同

9．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（）

...

...

... A ．m ≥﹣1 B ．m ＜0 C ．﹣1≤m ＜0 D ．﹣1＜m ＜0

10．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为（ ）

A ．8

B ．20

C ．36

D ．18

11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为19cm ，△ABD 的周长为13cm ，则AE 的长为（ ）

A ．3cm

B ．6cm

C ．12cm

D ．16cm

12．抛物线y 1=ax 2+bx+c 与直线y 2=mx+n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a+b+c ＞

0；③5a ﹣c=0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题（本题共有4个小题，每小题3分，共12分）

13．因式分解：a 2b ﹣10ab+25b=

．

14．已知一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的两根为m ，n ，则m 2+n 2= ．

15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．

16．观察下列等式：

1+2+3+4+…+n=n （n+1）；

1+3+6+10+…+n （n+1）=n （n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+n （n+1）（n+2）=n （n+1）（n+2）（n+3）；

...

... 则有：1+5+15+35+…

n （n+1）（n+2）（n+3）= ．

三、解答题（本大题共有

8个小题，共72分）

17．（8分）先化简，再求值：÷（a+2），其中a=﹣3．

18．（8分）如图，BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，垂足分别为E ，D ，BE=CD ．求证：AB=AC ．

19．（8分）在恩施州2016年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有32万名学生参加比赛活动，其中有8万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题．

获奖等级

频数 一等奖

100 二等奖

a 三等奖 275

（1）表格中a 的值为 ．

（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为 度．

（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？

20．（8分）如图，在办公楼AB 和实验楼CD 之间有一旗杆EF ，从办公楼AB 顶部A 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到实验楼CD 的底部D 点，且俯角为45°，从实验楼CD 顶部C 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到办公楼AB 的G 点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB 的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

...

21．（8分）如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PF⊥x轴于F，AD⊥y 轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．

（1）求点B的坐标；

（2）求四边形AOPE的面积．

22．（10分）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m3，每辆小车每天运送渣土120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．

（1）施工方共有多少种租车方案？

（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

23．（10分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF 的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：OC2=OE•OP；

（3）求线段EG的长．

...

...

24．（12分）如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．

（1）求点E，F的坐标；

（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；

（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；

（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

...

...

湖北省恩施州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）

1．9的相反数是（）

A．﹣9 B．9 C．D．

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义即可求解．

【解答】解：9的相反数是﹣9，

故选A．

【点评】此题主要考查相反数的定义，比较简单．

2．恩施州2013年建筑业生产总值为36900万元，将数36900用科学记数法表示为（）A．3.69×105B．36.9×104C．3.69×104D．0.369×105

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：36900=3.69×104；

故选C．

【点评】本题考查的是科学记数法．任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10．对于绝对值大于10的数，指数n等于原数的整数位数减去1．

3．下列图标中是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫

...

...

... 做对称轴．

【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；

B 、不是轴对称图形，故本选项错误；

C 、不是轴对称图形，故本选项错误；

D 、是轴对称图形，故本选项正确；

故选D ．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．下列计算正确的是（ ）

A ．2a 3+3a 3=5a 6

B ．（x 5）3=x 8

C ．﹣2m （m ﹣3）=﹣2m 2﹣6m

D ．（﹣3a ﹣2）（﹣3a+2）=9a 2﹣4

【考点】整式的混合运算．

【分析】A 、原式合并得到结果，即可作出判断；

B 、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

C 、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；

D 、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A 、原式=5a 3，错误；

B 、原式=x 15，错误；

C 、原式=﹣2m 2+6m ，错误；

D 、原式=9a 2﹣4，正确，

故选D

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．已知∠AOB=70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC=42°，则∠BOC 的度数为（

） A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°

【考点】角的计算．

【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．

【解答】解：如图，当点C 与点C 1重合时，∠BOC=∠AOB ﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；

当点C 与点C 2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．

故选C ．

...

【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

6．函数y=的自变量x的取值范围是（）

A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠2

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于0，据此即可求解．

【解答】解：根据题意得：，

解得x≥﹣1且x≠2．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

7．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字的积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字的积为奇数的结果数为9，

...

...

所以随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率==．

故选B．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

8．在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字．如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（）

A．恩B．施C．城D．同

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．

【分析】根据图象思想确定和六相邻的是施、城、同、创，和创相邻的是恩、施、六、城由此即可解决问题．

【解答】解：由题意可知和六相邻的是施、城、同、创，所以和六相对的是恩．

因为和创相邻的是恩、施、六、城，所以和创相对的是同．

故选D．

【点评】本题考查正方体相对面上的文字，解题的关键是先确定或某一个字相邻的字是什么，得出相对的面的字，属于中考常考题型．

9．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（）

A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．

【解答】解：

在中，

解不等式①可得x＞m，

解不等式②可得x≤3，

...

...

... 由题意可知原不等式组有解，

∴原不等式组的解集为m ＜x ≤3，

∵该不等式组恰好有四个整数解，

∴整数解为0，1，2，3，

∴﹣1≤m ＜0，

故选C ．

【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．

10．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为（ ）

A ．8

B ．20

C ．36

D ．18

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】第一次降价后的单价是原来的（1﹣x ），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x ）2，根据题意列方程解答即可．

【解答】解：根据题意列方程得

100×（1﹣x%）2=100﹣36

解得x 1=20，x 2=180（不符合题意，舍去）．

故选：B ．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．

11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为19cm ，△ABD 的周长为13cm ，则AE 的长为（ ）

A ．3cm

B ．6cm

C ．12cm

D ．16cm

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC ，AE=CE=

AC ，求出AB+BC+AC=19cm ，AB+BD+AD=AB+BC=13cm ，即可求出AC ，即可得出答案．

【解答】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，

...

... ∴AD=DC ，AE=CE=AC ，

∵△ABC 的周长为19cm ，△ABD 的周长为13cm ，

∴AB+BC+AC=19cm ，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm ，

∴AC=6cm ，

∴AE=3cm ，

故选A ．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

12．抛物线y 1=ax 2+bx+c 与直线y 2=mx+n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a+b+c ＞

0；③5a ﹣c=0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．

【分析】①直接根据二次函数的性质来判定；

②观察图象：当x=1时，对应的y 的值；

③当x=1时与对称轴为x=3列方程组可得结论；

④直接看图象得出结论．

【解答】解：①∵二次函数开口向上，

∴a ＞0，

∵二次函数与y 轴交于正半轴，

∴c ＞0，

∵二次函数对称轴在y 轴右侧，

∴b ＜0，

∴abc ＜0，

所以此选项正确；

...

... ②由图象可知：二次函数与x 轴交于两点分别是（1，0）、（5，0），

当x=1时，y=0，则a+b+c=0，

所以此选项错误；

③∵二次函数对称轴为：x=3，则﹣=3，b=﹣6a ，

代入a+b+c=0中得：a ﹣6a+c=0，5a ﹣c=0，

所以此选项正确；

④由图象得：当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2；

所以此选项正确．

【点评】本题综合考查了二次函数和一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的性质是关键：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置；当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异），反之也成立；③常数项c 由抛物线与y 轴交点的位置确定；④利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．

二、填空题（本题共有4个小题，每小题3分，共12分）

13．因式分解：a 2b ﹣10ab+25b= b （a ﹣5）2 ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=b （a 2﹣10a+25）=b （a ﹣5）2，

故答案为：b （a ﹣5）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．已知一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的两根为m ，n ，则m 2+n 2=

．

【考点】根与系数的关系．

【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m 2+n 2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．

【解答】解：由根与系数的关系得：m+n=，mn=，

...

... ∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=

﹣2×=，

故答案为：． 【点评】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如

、x 12+x 22等等，本题是常考题型，利

用完全平方公式进行转化．

15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积．

【分析】可运用相似三角形的性质求出GF 、MN ，从而求出OF 、OM ，进而可求出阴影部分的面积． 【解答】解：如图， ∵GF ∥HC ，

∴△AGF ∽△AHC ，

∴==，

∴GF=HC=，

∴OF=OG ﹣GF=2﹣=．

同理MN=，则有OM=．

∴S △OFM =××=

，

∴S 阴影=1﹣

=． 故答案为：．

...

...

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，求得△OFM 的面积是解决本题的关键．

16．观察下列等式：

1+2+3+4+…+n=n （n+1）；

1+3+6+10+…+n （n+1）=n （n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+n （n+1）（n+2）=

n （n+1）（n+2）（n+3）； 则有：1+5+15+35+…n （n+1）（n+2）（n+3）

= n （n+1）（n+2）（n+3）（n+4） ． 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据已知等式发现分母依次乘以2、乘以3、乘以4，据此作答即可．

【解答】解：∵1+2+3+4+…+n=

n （n+1）=n （n+1）； 1+3+6+10+…+n （n+1）=n （n+1）（n+2）=n （n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+n （n+1）（n+2）=

n （n+1）（n+2）（n+3）=n （n+1）（n+2）（n+3）， ∴1+5+15+35+…n （n+1）（n+2）（n+3）=n （n+1）（n+2）（n+3）（n+4）=n （n+1）（n+2）（n+3）（n+4），

故答案为： n （n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17．先化简，再求值：

÷（a+2），其中a=﹣3． 【考点】分式的化简求值．

...

【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=，

当a=﹣3时，原式==．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

18．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠CEB=∠BDC=90°．

∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，

∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），

∴∠ECB=∠DBC，

∴AB=AC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

19．在恩施州2016年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有32万名学生参加比赛活动，其中有8万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题．

...

...

... 获奖等级

频数 一等奖

100 二等奖

a 三等奖 275

（1）表格中a 的值为

125 ．

（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为 72 度．

（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？

【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）由一等奖学生数及其所占百分比求得被调查学生总数，根据各组频数之和等于总数即可得a ；

（2）用360°乘以获得一等奖所对应百分比即可得；

（3）用全州获奖学生总数乘以样本中获三等奖所占比例．

【解答】解：（1）∵抽取的获奖学生有100÷20%=500（人），

∴a=500﹣100﹣275=125，

故答案为：125；

（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为360°×20%=72°，

故答案为：72；

（3）8×=4.4（万人），

答：估计全州有4.4万名学生获得三等奖．

【点评】本题主要考查频数分布表与扇形统计图及用样本估计总体，从统计图表中获取解题所需信息是解题的关键．

20．如图，在办公楼AB 和实验楼CD 之间有一旗杆EF ，从办公楼AB 顶部A 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到实验楼CD 的底部D 点，且俯角为45°，从实验楼CD 顶部C 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到办公楼AB 的G 点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB 的高

...

度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△GEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△AGP中，继而可求出AB 的长度．

【解答】解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，

∴FD=EF=9米，AB=BD

在Rt△GEH中，∵tan∠EGH==，即，

∴BF=8，

∴PG=BD=BF+FD=8+9，

AB=（8+9）米≈23米，

答：办公楼AB的高度约为23米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．

21．如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PF⊥x轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．

（1）求点B的坐标；

（2）求四边形AOPE的面积．

...

...

...

【考点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）根据∠ACB=60°，求出tan60°=

=，设点A （a ，b ），根据点A ，C ，P 均在反比例函数y=

的图象上，求出A 点的坐标，从而得出C 点的坐标，然后即可得出点B 的坐标；

（2）先求出AQ 、PF 的长，设点P 的坐标是（m ，n ），则n=，根据点P 在反比例函数y=的图象上，求出m 和S △OPF ，再求出S 长方形DEFO ，最后根据S 四边形AOPE =S 长方形DEFO ﹣S △AOD ﹣S △OPF ，代入计算即可．

【解答】解：（1）∵∠ACB=60°，

∴∠AOQ=60°，

∴tan60°==，

设点A （a ，b ），

则，

解得：或（不合题意，舍去）

∴点A 的坐标是（2，2），

∴点C 的坐标是（﹣2，﹣2），

∴点B 的坐标是（2，﹣2

），

（2）∵点A 的坐标是（2，2

）， ∴AQ=2，

∴EF=AQ=2

， ∵点P 为EF 的中点，

...

... ∴PF=，

设点P 的坐标是（m ，n ），则n=

∵点P 在反比例函数y=

的图象上， ∴=，S △OPF =|4|=2，

∴m=4，

∴OF=4，

∴S 长方形DEFO =OF•OD=4×2

=8， ∵点A 在反比例函数y=

的图象上， ∴S △AOD =|4|=2，

∴S 四边形AOPE =S 长方形DEFO ﹣S △AOD ﹣S △OPF =8

﹣2﹣2=4． 【点评】此题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k|．

22．（10分）（2016•恩施州）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m 3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m 3，每辆小车每天运送渣土120m 3，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．

（1）施工方共有多少种租车方案？

（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设大车租x 辆，则小车租（80﹣x ）辆．列出不等式组，求整数解即可解决问题．

（2）设租车费用为w 元，则w=1200x+900（80﹣x ）=300x+7200，利用一次函数的增减性，即可解决问题．

【解答】解：（1）设大车租x 辆，则小车租（80﹣x ）辆．

由题意

， 解得39≤x ≤44.5，

∵x 为整数，

∴x=39或40或41或42或43或44．

...

∴施工方共有6种租车方案．

（2）设租车费用为w元，则w=1200x+900（80﹣x）=300x+7200，

∵300＞0，

∴w随x增大而增大，

∴x=39时，w最小，最小值为18900元．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等整数，解题的关键是学会构建不等式组解决实际问题，学会构建一次函数，利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．

23．（10分）（2016•恩施州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：OC2=OE•OP；

（3）求线段EG的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；

（2）由射影定理得出OD2=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC2=OE•OP；

（3）由垂径定理得出DE=CE=4，∠OEC=90°，由相交弦定理得出DE2=AE×BE，求出BE=2，得出直径CG=AB=AE+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC==，在△CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

...

...

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD∥AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，

∴∠ODF=90°，

∵AB⊥CD，

∴由射影定理得：OD2=OE•OP，

∵OC=OD，

∴OC2=OE•OP；

（3）解：∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，∠OEC=90°，

由相交弦定理得：DE2=AE×BE，

即42=8×BE，

解得：BE=2，

∴CG=AB=AE+BE=8+2=10，

∴OC=CG=5，

∴cosC==，

在△CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE2﹣2×CG×CE×cosC=102+42﹣2×10×4×=52，

∴EG==2．

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果．

...

...

...

24．（12分）（2016•恩施州）如图，在矩形OABC 纸片中，OA=7，OC=5，D 为BC 边上动点，将△OCD 沿OD 折叠，当点C 的对应点落在直线l ：y=﹣x+7上时，记为点E ，F ，当点C 的对应点落在边OA 上时，记为点G ．

（1）求点E ，F 的坐标；

（2）求经过E ，F ，G 三点的抛物线的解析式；

（3）当点C 的对应点落在直线l 上时，求CD 的长；

（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使以E ，F ，P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由点E 在直线l 上，设出点E 的坐标，由翻折的特性可知OE=OC ，利用两点间的距离公式即可得出关于x 的无理方程，解方程即可求出x 值，在代入点E 的坐标中即可得出点E 、F 的坐标；

（2）由OG=OC 即可得出点G 的坐标，根据点E 、F 、G 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）设点D 的坐标为（m ，5）（m ＞0），则CD=m ，利用ED=CD ，FD=CD 即可得出关于m 的无理方程，解方程即可求出m 的值，从而得出CD 的长度；

（4）假设存在，设点P 的坐标为（n ，﹣n 2+6n ﹣5），由两点间的距离公式找出PE 、PF 、EF 的长，根据三个角分别为直角，利用勾股定理即可得出关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，再代入点P 坐标即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点E 在直线l ：y=﹣x+7上，

∴设点E 的坐标为（x ，﹣x+7），

∵OE=OC=5，

∴=5，

解得：x 1=3，x 2=4，

∴点E 的坐标为（3，4），点F 的坐标为（4，3）．

...

... （2）∵OG=OC=5，且点G 在x 正半轴上，

∴G （5，0）．

设经过E ，F ，G 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，

将E （3，4）、F （4，3）、G （5，0）代入y=ax 2+bx+c 中， 得：，解得：，

∴经过E ，F ，G 三点的抛物线的解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5．

（3）∵BC ∥x 轴，且OC=5，

∴设点D 的坐标为（m ，5）（m ＞0），则CD=m ．

∵ED=CD 或FD=CD ，

∴=m 或=m ，

解得：m=或m=．

∴当点C 的对应点落在直线l 上时，CD 的长为或．

（4）假设存在，设点P 的坐标为（n ，﹣n 2+6n ﹣5）， ∵E （3，4），F （4，3），

∴EF==，PE=

，PF=．

以E ，F ，P 为顶点的直角三角形有三种情况：

①当∠EFP 为直角时，有PE 2=PF 2+EF 2，

即（n ﹣3）2+（﹣n 2+6n ﹣9）2=2+（n ﹣4）2+（﹣n 2+6n ﹣8）2， 解得：n 1=1，n 2=4（舍去），

此时点P 的坐标为（1，0）；

②当∠FEP 为直角时，有PF 2=PE 2+EF 2，

即（n ﹣4）2+（﹣n 2+6n ﹣8）2=2+（n ﹣3）2+（﹣n 2+6n ﹣9）2， 解得：n 3=2，n 4=3（舍去），

此时点P 的坐标为（2，3）；

③当∠EPF 为直角时，有EF 2=PE 2+PF 2，

即2=（n ﹣3）2+（﹣n 2+6n ﹣9）2+（n ﹣4）2+（﹣n 2+6n ﹣8）2， 整理得：（n ﹣4）（n ﹣3）（n 2﹣5n+7）=0，

∵在n 2﹣5n+7中△=（﹣5）2﹣4×7=﹣3＜0，

...

... ∴n 2﹣5n+7≠0．

解得：n 5=3（舍去），n 6=4（舍去）．

综上可知：在（2）中的抛物线上存在点P ，使以E ，F ，P 为顶点的三角形是直角三角形，点P 的坐标为（1，0）或（2，3）．

【点评】本题考查了两点间的距离公式、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据OE=OC 得出关于x 的无理方程；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式；（3）根据ED=CD （FD=CD ）找出关于m 的方程；（4）分三个角分别为直角三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，解决该题型题目时，利用翻折的性质以及两点间的距离公式找出方程是关键．

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