行为主义学习理论视角下的数学分析

摘 要：针对近年来大学生数学能力不平衡的情况，从行为主义学习理论角度，提出了改变教学风格以及设计新的考评机制，用以改善数学分析课程“教与学”的行为有效性。通过调查发现，在教学改革方面充分利用错误习题、错误解答、悖论、反例以及一些研究性课题，有助提升学生数学能力和教学效果。

关键词：数学分析 行为主义学习 考评机制

数学分析作为数学专业学习最重要的核心基础课程，不仅为后续课程学习奠定良好的理论基础，也对学生抽象逻辑思维、数学运算的训练以及严谨的治学态度等科学素养的培养具有显著作用。然而，有效教学这个主题虽然是老生常谈，但要真正实现有效教学这一目标也非易事。由于数学内容普遍过于抽象化、理论化，数学分析的“教与学”历来是一个难题，为了提高教学效果，对数学分析的教学改革设想和实践从未停止过。比如教材改革，从数学思想方法上入手的教学改革，分层次多模式的教学改革，基于研究型学习的教学改革等等。由于受中学应试教育的影响，现阶段的大学生数学学习主要呈现三方面问题：学习主动性普遍不高，学习大多缺乏兴趣；学生严重依赖老师和参考书；学生的个体差异表现明显。为此，我们尝试从行为主义学习理论进行分析并提出解决措施。

一、行为主义学习理论与有效“教与学”行为建立

当今学习理论主要存在四大流派，行为主义学习理论是其中一大重要流派，由美国心理学家约翰·华生于20世纪初创立，又称刺激-反应理论，在教师教育教学、学生学习行为领域研究具有广泛应用。行为主义学习理论认为，个体心理与行为会通过与环境相互作用而形成“刺激-反应”联结，其基本假设是：行为是学习者对环境刺激所做出的反应。

根据斯金纳学习理论，“教学就是安排可能发生强化的事件以促进学习”，教学就是给学生创设学习刺激并作出反应的机会，且在学生作出反应之后，要有相应的反馈。落实到《数学分析》课程的数学教学上，具体表现为：教学目标、内容和方式、课堂教学呈现、氛围与管理、师生交流等均是给学生提供的特定“刺激”，引导学生产生特定的“反应”，如学生课堂表现和成绩、对课程的学习兴趣和态度等；教师对学生反应安排相应的强化来塑造和矫正学生行为，对表现理想的学生给予表扬、鼓励、奖励等，对干扰教学秩序、表现消极的学生可以采取负强化。

二、利用多样化数学教学手段，提供有效教学刺激

教学方式可以提供一种特定的刺激，有助于唤起学生特定的情感体验和行为反应，呈现出对教学对象的特殊态度倾向。在当前中学教育以及大学教材没有发生太多改变的前提下，为了提高教学效果，只能与时俱进地改进课堂上的教学方式。

（一）利用错误习题，培养学生怀疑精神

“尽信书不如无书”，让学生用怀疑找茬的角度去学习教材。充分利用错题，在某些情况下更容易激起学生探索的兴趣。没有任何错误的教科书是不存在的，我们曾经使用过一套错误非常多的数学分析教材，在这种情况下如何减少它对学生的负面影响？我们的策略是：让学生去寻找错误，并且给找到错误的学生一定奖励。事实表明，这不但激起了学生找茬的激情，同时在找茬的过程中加深了对概念的全面理解。

（二）利用错误解题，矫正学生理解偏差

学生错误的解题是可以用来纠正学生理解偏差的工具。讲解错误的解题历来是数学老师的教学重点，但我们采取的是让学生相互之间找错误，并讨论。我们会复印一些学生错误的练习让学生批改，并且告诉他们这里面是有错误的。学生对于寻找他人的错误有一定的积极性，而且在知道有错误的前提下，往往很容易找出来。同时，在找到错误之后，会发现自己曾经犯过同样的错误，这在某种程度上会避免下次发生类似的错误。

（三）利用悖论，提高学生思辨能力

悖论是容易引起学生关注的较好的话题。比如芝诺悖论：“假设兔子速度是乌龟的10倍，乌龟在前面100米跑，兔子在后面追，但兔子不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追赶者首先必须到达被追者的出发点，当兔子追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；兔子必须继续追，而当它追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，兔子只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，只要乌龟不停地奋力向前爬，兔子就永远也追不上乌龟！”讲解这个悖论不但提高了学生思考和讨论的兴趣，还让学生对离散时间和连续时间，无穷步骤和无穷时间的理解更加深刻。数学上的悖论往往是某些数学思想的一种批判，所以讨论并解决悖论，会从更高层次上理解相关的数学概念。

（四）利用反例，促进学生严谨思维

美国数学家B.R.盖尔鲍姆说过：“数学由证明和反例两大类组成，数学也是朝着提出问题和构造反例目标发展。一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”比如在讲解一致收敛时，老师可以提问：“处处间断的函数列一致收敛于处处连续的函数？”让学生充分思考讨论，最后告诉学生这种反例是存在的，这样就可以帮助学生澄清对某些概念和结论的模糊认知，纠正一些错误的直觉性结论，使学生的思维能力更加严谨，更加全面。

三、关注学生学习反应，促进学习态度改变和兴趣提升

学生的课堂表现和学习态度是对学习对象和学习环境刺激的一种响应，关注学生学习态度和兴趣等行为反应，可以增强教学效果。

（一）營造欢快轻松的教学氛围

我们曾对在学的学生和已修完学分的学生做过问卷调查：相比严肃的教学风格，85%在学学生和70%已修完学分的学生更喜欢幽默的数学老师；60%的学生和50%的已修完学分的学生认为，老师的幽默风格比学术修养更重要。这表明，在某种程度上，幽默的教学风格对学生的重要性在学生心目中已经超过了老师的数学修养。数学分析虽然是一门严谨枯燥的课程，但其中也不难找到幽默诙谐的切入点。比如在讲映射的时候，可以把映射比喻成去韩国做整容，显然只有唯一一个整容后的脸对应整容前的脸，但也有可能不同的人整容后的脸是一样的。如果每节课都能有笑声，相信学生一定不会因为学习太沉闷而失去兴趣。

（二）适当穿插一些数学史及数学家轶事

我们总是对古人或前辈干了什么充满好奇，同样的道理，结合教学内容和历史背景，给学生讲解一些数学的发展历程以及某些数学家的生平事迹，如阿贝尔、伽罗瓦、高斯以及伯努利世家的故事，不但是对高强度数学分析学习的一种调节放松，也会对学生的学习热情产生正面影响。在讲解比较枯燥的理论证明的时候，有时候会发现学生的学习反应并不是很强烈，这时候，可以在课堂上穿插一些数学家的小故事，然后，会发现大部分学生的精神都有明显的提高，如同当场喝了一杯热咖啡一样。有些学生反映说，这好比是眼睛疲劳时做了一个眼保健操，再继续听老师讲解会更轻松一些。

四、改革考评机制，强化学生学习行为

斯金纳认为，学生的行为受行为结果影响，要学生作出合乎需要的行为反应，必须在行为之后施加一种强化性的后果。教师对学生学习的影响，除了个人魅力，唯一对学生有实质约束作用是成绩的评定，即考评机制。

为了提高学生对早期数学学习的重视程度，我们設计了助优机制，即第一学期好的学习成绩对于第二学期的平时成绩有遗传作用。如果某同学第一学期的最后成绩低于80，对第二学期的成绩无影响；如果高于80分，第二学期平时成绩要加上超过的分数，但加总后不能超过100分。为了鼓励学生提高成绩，我们还设计了助涨机制，即：如果第二学期成绩比第一学期成绩有10分以上的上升，则享受20%的加成。

在助优机制下，学生对第一学期的学习重视程度会有所提高。助涨机制的设立则是给第一学期表现不好的学生的一个激励政策。我们对部分班级进行简单对比发现，助优机制和助涨机制对学生的学习具有一定的促进作用。为进一步验证，在第四个学期末，对学生做问卷调查，成绩在70分以上的学生中有60%以上认为助优机制有积极的影响，而成绩在60～80分之间的学生中有65%以上认为助涨机制对他们有正面的影响。

五、进一步思考

通过数学分析系统训练，使学生的数学修养和思维能力得到根本提高，对学生产生的影响是其他课程难以替代的。爱因斯坦有句名言：“兴趣是最好的老师。”如果通过“教与学”的改革和创新，使学生对数学分析有较浓厚的兴趣，让学生主动去求知、探索、实践，那就实现了教学者的“授渔”目的。

（一）建议学生多阅读一些课外书籍

可以推荐《数学大师》等书籍给学生阅读，这本介绍数学史和数学艺术的经典著作，不但深入浅出地介绍了数学发展的历史，还告诉我们，数学家也和我们一样，有着世俗的欲望和追求，经历着常人的喜悦和苦恼。这种书籍是学生在学习迷茫时最好的路灯，也会从书中这些科学家身上汲取学习的动力。一本好的书籍会给学生带来更多的思考。

（二）适当增加一些学生的自主研究性学习

在数学分析学习的后期，可以让学生以团队的方式去尝试解决一些更加抽象，规模更大，或与现实密切相关的问题。我们曾对毕业后从事数学研究的学生做过调查，70%以上的学生认为这种有引导性的自主研究性学习，对他们是有很大帮助的。这些尝试表明，除了培养学生的团队合作精神之外，也可以让学生初步了解并适应现代科学研究机制。特别对那些优秀的学生来说，是一个较好的学习经历。

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（作者单位：南昌大学管理学院 南昌大学理学院）

责任编辑：刘伟林

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