四则运算法则在极限运算中的应用探究

总结出某种规律，比如乘除、加减等，以方便计算极限时按模式套入应用，但这种方法缺乏严谨性，总有其本质原因。经仔细分析发现，出现这些错误的根本是忽略了四则运算法则的应用条件及其适用范围。如果我们计算极限时更严谨一些，仔细分析每一步计算的因果关系，这些错误是完全可以避免的，也不用死记硬背一些所谓的模式或套路。

二、四则运算法则及其条件分析

首先我们分别给出数列和函数极限的四则运算法则。

（一）数列极限的四则运算法则

对于应用四则运算法则计算极限，有两个前提条件是必须要引起重视的：一是极限的存在性，二是项数的有限性。也就是说，必须事先确保每一部分的极限都存在，这样才能对相应的数列或函数的极限运算运用四则运算法则，而且参与四则运算的数列或函数必须为有限项。事实上，从后来的级数理论我们知道，对于无穷多项和极限，是否能将极限运算与无穷多项和的运算互换要用到函数的一致收敛性，这一点是非常关键的，不能做简单的推广。

三、例题解析

我们对一些经典的极限运算题目进行解答分析，在此过程中，可以发现四则运算法则是如何被应用的，如果某些重要的前提条件被忽视会发生怎样的错误。

【解析】本题为数列的极限计算题，为n项和的极限，每一项的极限均为0。但需要注意的是，当n→∞时，数列和式的项数也趋于无穷大，四则运算法则的条件是不适用的。如果错误的运用四则运算法则，按如下方法计算：

结论显然就错了。本题正确的做法可以采用夹逼准则，其正确结果应为1。

本题也是忽略了两个函数商的极限运算法则的条件，即分母函数的极限不能为0。因此，第二步就已经错了，不能运用法则。正确的方法应是运用无穷小量与无穷大量的关系：无穷小（非零）的倒数是无穷大，分母的函数（x-2） 在x→1的过程中为无穷小量，分子的极限为非零常数，故极限为无穷大量。

要弄清这个问题，我们需要确定两个关键条件：一是等价无穷小量代换的条件，二是四则运算法则应用的前提条件。关于无穷小量代换，定理中要求是相乘或相除的两个无穷小量可以进行代换，或者是对无穷小量整体进行代换，而此处是减法运算，显然不满足条件。另外，由于分母极限为零，商的运算法则不成立，极限运算无法直接整体作用于sinx和tanx。如果将分母函数改为极限不为零，假设为cosx，则可应用四则运算法则做如下计算：

能否做等价无穷小量代换，关键要看极限运算能否直接作用于该函数，而能否直接作用于该函数，四则运算法则的应用条件又是关键。

四、结语

四则运算法则是极限运算的一个重要法则，但由于简单易懂，在做极限运算题目时往往被忽略，不被重视，进而导致出现很多与之相关联的错误的发生。事实上，绝大多数的极限计算题目都会用到该法则，如果在做题的过程中稍微关注并考虑下四则运算法则的条件是否满足，对很多概念的理解和做题过程中出现的模棱两可的问题就会变得清晰，错误也就可以避免了。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]谢惠民，等.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3][美]鲁丁（Rudin，W.）.数学分析原理（英文版）[M].北京：机械工业出版社，2004.

[4]裴禮文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

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