浅谈多元函数极值及其应用

【摘 要】本文主要从极值的定义、定理和性质出发，对多元函数的条件极值相关理论进行论述，对满足限制条件的多元函数不管是方程组还是的不等式组的极值问题进行了探讨。此外，还从二元函数极值的定义和性质等方面对线性代数理论在多元函数中的运用进行了探讨，并对多元函数极值问题中应用该定理和推论的灵活性和实用性进行了验证。

【关键词】多元函数 极值 应用

近年来对多元函数极值问题的研究较为广泛，同时相关的理论也得到了不断的完善，对于多元函数极值问题的应用也是日趋广泛。相较于一元函数，数学分析教材中关于多元函数极值的理论和应用都不多，也没有进行过多的讨论。比如，讨论二元函数极值问题时，当判别式时，二元函数的极值是否真的存在就无法判别出来。所以，就出现了和实际需求间的矛盾问题，在本文中总结了对多元函数极值进行判别的几种简单方法，以期能在解决多元函数的极值问题时变得更加简单，同时使用起来也更加灵活多变。

1 关于多元函数的极值问题

1.1 极值定义、性质及判定定理

定义一 如果二元函数f（x，y）在点P（a，b）的领域G中有定义，在P处给自变量的增量△P=（h，k），则有函数增强△f=f（a+h，b+k）-f（a，b）。如果△f≤0，那么P（a，b）就是函数f（a，b）的极大点，反之为极小点。极大点或是极小点的函数值f（a，b）就是函数f（a，b）的极大值或是极小值，一般将极大值和极小值都统称为函数的极值。

定义二 方程组的解被称为函数f（a，b）的稳定点。

定理一 如果函数f（x，y）在点P（a，b）上有两个偏导数，点P（a，b）是函数f（x，y）的极值点，那么fx′（a，b）=

0，fy′（a，b）=0。

定理二 如果P（a，b）是函数f（x，y）的稳定点，同时点P（a，b）的领域G中有着二阶连续偏导数，如果A=f′′xx（a，b），B=f′′xy（a，b），C=f′′w（a，b），△=B2-AC

1）如果△<0，那么点P（a，b）就是函数f（x，y）的极值点；

如果A>0或者是C<0，那么点P（a，b）就是函数f（x，y）的极小点；

如果A<0或者是C>0，那么点P（a，b）就是函数f（x，y）的极大点；

2）如果△>0，那么点P（a，b）就不是函数f（x，y）的极值点。

1.2 推广多元函数极值

1.2.1 数学分析中推广多元函数极值

定理 设函数f（P）是Rn中的实函数，并且在P0点上函数f（P）能得到极值，所以函数f（P）在P0点的任何方向上的导数都是零。

1.2.2 线性代数中推广多元函数极值

定理一 如果n元函数f（x）=f（x1，x2，x3，……xn）在某区域是二阶连续偏导数，点P（a1，a2，a3，……an）是区域中的一点，且是f（x）的稳定点。

矩阵是实对称矩阵，其中元素且并不全是零（i，j=1，2，……n），也就是说A不等于零。

1）如果A是正定矩阵，那么函数f（P）是极小值；

2）如果A是负定矩阵，那么函数f（P）是极大值；

3）如果A既不是正定矩阵也不是负定矩阵，那么函数f（P）就不是极值。

其中，如果二次齐次多项式是零，也就是说A等于零时，这时不能通过A的正负来判断函数f（P）是否是极值，或者是据此来判断函数f（P）是极大还是极小值，判定时需要依据二次齐次多项式后的高次项来进行。

定理二 如果函数f（x，y）是二元函数，并且在P0（x0，y0）点的领域中有着三阶连续偏导数，P0点是稳定点，同时，也就是说当△=0时，且时，在P0点上f不存在极值。

例1 函数f（x，y）=xy2是否有极值存在。

解 通过解方程组可以得到点P0（0，0）是稳定点。

因为在R2上函数f（x，y）可微，所以函数f（x，y）在点（0，0）上能够取得极值。对于B2-AC=0也是很容易验证的，如果用二阶偏导数判别法则不容易得出结论。又因为，所以根据定理二可以得出在（0，0）点上函数f（x，y）没有极值可取。

2 关于多元函数极值的应用问题

在实际问题中多元函数极值的应用。

例2 实验后得到了一系列的点（xi，yi），i=1，2……n，這些点都位于一条直线上，变量x和y间的关系可以通过直线方程来表示，现在要求确定一条直线，使得这些点和直线的偏差平方和最小。

解 设求得的直线方程是y=ax+b，那么实验得到的点是（xi，yi），i=1，2……n，要想确定a、b的值，需要使得函数是最小，先让，整理关于a，b的这组线性方程可以得到：，求解方程组，就能得到f（x，y）的驻点，如果xi，x2，……xn不是全部相等，通过数学归纳法得证：

因为A是正定矩阵，所以在（a，b）点上f（a，b）能够取得极小值，该极小值也是最小值。

很多实际问题在具体解决的过程中要根据其实际意义来进行，比如函数f的最大值或是最小值一般都在区域D中的某点P取得，因为在区域D中函数f只有一个驻点P，那么在该驻点P上函数f一定能取得最大值或是最小值。

例3 某家电公司通过报纸和电台两种方式来销售小家电，根据销售统计资料知，销售收入R（万元）和电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）间有如下关系：R=15+14x1+26x2-8x1x2-2 x12-5 x22，如果广告经费有限，求：采用什么样的广告策略能得到最大利润。

解 利润=收入-费用，由此得出利润函数为：

π=（15+14x1+26x2-8x1x2-2 x12-5 x22）-（x1+x2）=15+13x1+

25x2-8x1x2-2 x12-5 x22。

如果要确保极限存在，令

由此得到驻点x1=35/12万元，x2=1/6万元，在驻点处的利润函数Hesse矩阵A是

因为A是负定矩阵，所以在驻点（35/12，1/6）处π取得极大值，同时也是最大值，所以最好的广告策略是分别使用35/12万元的电台广告费用和1/6万元的报纸广告费用，这样能确保获取的利润最大。

3 小结

在本文中主要对多元函数的极值判定及应用进行了分析，将数学分析理论和高等代数及线性规划极值问题相统一，比较全面的对如何判别极值进行了总结和概况，对于今后在不同情况下极值的判别方法的灵活运用意义重大。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001

[2]赵树.经济应用数学基础[M].北京：中国人民大学出版社.1988

[3]郝一凡.最优化与决策[M].辽宁大学出版社.1999

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