一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法

微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。

一、构造辅助函数的具体方法

证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点?灼的导数有关，因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的点?灼换成x；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。如拉格朗日中值定理的结论是f′（?灼）=，首先将?灼换成x，即为f′（x）=，而左端的原函数为f（x），右端的原函数为x，令F（x）=f（x）-x，则容易验证F（x）满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。

例1，设f（x）在［a，b］上可微，试证明存在?灼∈（a，b），使2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）

分析：将?灼换成x得2x［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（x），左端的原函数为x2［f（b）-f（a）］，右端的原函数为（b2-a2）f（x），于是作辅助函数F（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x）即可。

证明：令F（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x），则F（x）在［a，b］上可微，且满足F（a）=a2f（b）-b2f（a）=F（b），所以F（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，于是存在?灼∈（a，b），使得F′（?灼）=0，即F′（?灼）=2?灼［f（b）-f（a）］-（b2-a2）f′（?灼）=0，从而得2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）。

二、构造辅助函数的简单技巧

某一些中值恒等式不能直接应用上述三个步骤证明，因此在证明之前需要先作恒等变形，或者先将?灼换成x后再作恒等变形。例如：柯西中值定理结论为=，将?灼换成x后为=，而的原函数不易求得，因此将等式变形为f′（x）=g′（x），而后求得左端的原函数为f（x），右端的原函数为g（x），于是令辅助函数F（x）=f（x）-g（x），则易证F（x）满足罗尔定理的条件，于是定理容易得证。

例2，设f（x）g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，?坌x∈（a,b），g′（x）≠0试证?埚?灼∈（a，b）使=

分析：将所证等式中的?灼换成x得=，而等式两端的原函数都不易求得，于是将等式变形为f′（x）g（b）-f′（x）g（x）-g′（x）f（x）+f（a）g′（x）=0或f′（x）g（b）+f（a）g′（x）=f′（x）g（x）+g′（x）f（x），从而得左端的原函数为f（x）g（b）+f（a）g（x），右端的原函数为f（x）g（x），于是令辅助函数F（x）=f（x）g（b）-f（x）g（x）+f（a）g（x）即可。

证明：令F（x）=f（x）g（b）-f（x）g（x）+f（a）g（x），则F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且F（a）=F（b）=f（a）g（b），即F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的条件,于是存在?灼∈（a，b），使得F′（?灼）=0，于是得f′（?灼）g（b）-f′（?灼）g（?灼）-g′（?灼）f（?灼）+f（a）g′（?灼）=0，变形即得

=

例3，设f（x）在［a，b］上连续，其中b＞a＞0，f（x）在（a，b）内可导，证明存在?埚?灼∈（a,b）,使得f（b）-f（a）=?灼lnf′(?灼).

分析：先将f（b）-f（a）=?灼lnf′（?灼）中的?灼换成x，再变形为［f（b）-f（a）］=（lnb-lna）f′（x），左端的原函数为［f（b）-f（a）］lnx,右端的原函数为（lnb-lna）f（x），由此作辅助函数F（x）=［f（b）-f（a）］lnx-（lnb-lna）f（x）即可。

证明：令F（x）=［f（b）-f（a）］lnx-（lnb-lna）f（x），则F（a）=F（b）=f（b）lna-f（a）lnb，又F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导,由罗尔定理?埚?灼∈（a,b）,使得F′（?灼）=0，即得f（b）-f（a）=?灼lnf′（?灼）

例4，设f（x）在［0,+∞］上可导，且0≤f（x）≤，证明：?埚?灼＞0,使f′（?灼）=

分析：所证等式中的?灼换成x为f′（x）=，左端的原函数为f（x），右端的原函数为dx=dx-dx=+C

于是令F（x）=f（x）-

证明：令F（x）=f（x）-,则F（x）在［0,+∞］上连续，在(0，+∞)可导，且F（0）=F（+∞）=0.由推广的罗尔定理：?埚?灼∈（0，+∞），使得F′（?灼）=0，即有f′（?灼）=

由上可以看出，要证明与中值定理相关的等式，只要按照上面所说的方法，就不难构造相应的辅助函数，从而使所证问题简单明了，证明步骤简捷清晰。

参考文献

［１］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京：高等教育出版社，1993（5）.

［２］毛羽辉.数学分析解题指南.上海：华东师范大学数学系，1985（9）.

［３］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，2001（6）.

作者单位：

山西太原师范学院数学系

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