解析几何诞生的意义

摘 要：17世纪笛卡儿和费马通过把坐标系引入几何中，将几何的“形”与代数的“数”对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。解析几何学的诞生在数学史上具有非常重要的意义，它为微积分奠定了基础，使一些命题证明变得简单，同时，它还促进了几何图形在生活中的应用。

关键词：解析几何；数学发展；定理证明；图形应用

一、 引言

解析几何诞生于17世纪的法国，数学家笛卡儿和费马通过把坐标系引入几何中，将几何的基本元素——点，与代数的基本研究对象——数对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。解析几何学的产生可以说是数学发展史上的一次飞跃。它为17世纪数学最重要的成就之一——微积分的创立奠定了基础；解析几何把变量引入数学，因此完成或者简化了其他学科中一些定理的证明；同时，通过对图形方程的建立和研究将几何图形更好的应用到我们的生活中。

二、 解析几何学的诞生是数学发展的需要

公元前146年，罗马人征服了希腊本土。公元前47年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬。罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难。查封学园，禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。15世纪，随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着包括古希腊文化在内的财富逃亡到意大利，从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。在这一时期，欧洲开始出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步，包括数学在内的科学文化开始复苏并繁荣起来。到17世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，促进了社会生产力的迅速发展，远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题，例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围。费马和笛卡儿创立的解析几何学解决了以上问题，解析几何是代数与几何相结合的产物，通过把坐标系引入几何中，将几何的“形”与代数的“数”对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，它把变量引入数学，使得人们借助数学对运动变化规律进行定量分析成为可能。美国著名数学史家莫里斯·克莱茵指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”17世纪上半叶，数学家们已经积累了微积分的大量知识和方法，解析几何的出现为微积分的创立奠定了基础。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

三、 向量运算简化了定理的证明

在解析几何中，我们可以通过构造向量完成一些定理的证明，或者简化一些定理证明过程。

利用空间解析几何中的数量积、向量积以及混合积运算，对一个向量与三个不共面向量的分解式进行混合积运算，之后在空间右手直角坐标系下应用混合积的坐标表示，代入四个向量的坐标以后可以证明线性代数中解线性方程组的重要定理——克莱姆法则。

通过数量积的定义和空间直角坐标系下数量积的坐标表示式可以证明数学分析中的重要不等式——柯西—施瓦茨不等式；还可以利用双重向量积的计算公式证明数学分析中的两个重要等式——拉格朗日恒等式和雅可比恒等式。

在三角形中构造向量以后，可以运用数量积的定义和运算律证明三角学中的余弦定理，还可以利用向量积模的定义证明三角学中的另一定理——正弦定理。

通过构造向量还可以证明欧式几何的一些重要定理，例如三角形中位線定理、对角线互相平分的四边形是平行四边形、平行四边形对角线平方和等于它各边的平方和……

四、 方程的建立促进了几何图形的应用

几何图形在生活中有着广泛应用，很多的几何图形都被用在建筑中。解析几何通过引进坐标系，建立方程与图形的关系，对于方程，可以根据满足方程的点的特征性质作出图形；对于几何图形，可以根据图形上点的特征性质构建方程，再通过方程进一步讨论图形的其他性质，最终将图形用到我们的生活尤其是一些建筑中。例如位于广东省广州市越秀区二沙岛的星海音乐厅（图1），它是以人民音乐家冼星海的名字命名的，其屋顶设计采用的是解析几何中的双曲抛物面（马鞍面）。在空间解析几何中双曲抛物面是由所在平面互相垂直，有公共顶点和轴，开口方向相反的两条抛物线，其中的一条抛物线平行于自己且使顶点在另一条抛物线上滑动生成的，空间解析几何讨论了双曲抛物面的方程及其构成，还讨论了它的直母线，由此知道双曲抛物面是由直线构成的，因此可以将其运用到建筑中。

还有位于中国广州市海珠区（艺洲岛）赤岗塔附近的广州电视塔（昵称小蛮腰），该图形在解析几何上被叫做单叶双曲面，由空间解析几何中对单叶双曲面方程的探讨知道单叶双曲面同样存在直母线，它也可以看成是由直线构成的。

类似这样的几何图形在建筑中的应用还有很多，它们中的绝大多数都是通过解析几何中对方程的探讨，了解其构成以后才能进一步运用到建筑中的。

五、 结束语

解析几何的诞生在数学史上具有重要意义，它使得代数与几何结合在一起，加快了数学发展的步伐，使我们的近代数学越来越完善，同时也促进了数学在生活的广泛应用。

参考文献：

[1]朱家生.数学史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011（5）：99.

[2]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006（5）.

作者简介：江献，云南省曲靖市，曲靖师范学院教师教育学院。

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