关于机理变化型变结构非线性协整的研究

摘要： 变结构非线性协整是协整理论发展的必然的趋势，也是经济系统复杂多变的必然需求，文章补充了变结构非线性协整的定义，并提出了机理变化型变结构非线性协整，指出其本质问题即单位根的结构突变检验，总结了几种结构突变的单位根检验方法，讨论了变结构点的估计方法，给出了基于Chow统计量的变结构协整检验和建模方法。

Abstract: Research on nonlinear cointergration with structural changes was the inevitable tendency of cointergration theory development, was also the inevitable demand of the complicated and diversified economic system. In this paper, we supplemented the concepts and types of nonlinear cointegration with structural changes, and proposed the concept of nonlinear cointegration with mechanismic changes, pointed out that its essential question was the testing of the unit root with structural changes, and summarized it. Finally we discussed the estimation of break points, and also studied Chow-type test statistics for testing cointegration with dimensional changes and the modeling procedure when the structure changes occur.

关键词： 协整；变结构；机理变化型协整；Chow检验

Key words: cointegration；structure changes；cointegration with dimensional changes；Chow test

中图分类号：F83 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0158-03

0引言

经济系统由于受国家政策、科学技术等多种因素的影响，普遍具有非线性和变结构的特征，建模也一直面临着两方面的问题：

①如何合理使用起伏较大的历史数据，从统计数据中最大限度地提取准确信息，通过模型正确地反映结构不断调整、变化的社会经济现象。

②非平稳性和非线性性是经济和金融时间序列的主要特性，如何检验和估计多元非平稳时间序列之间的非线性关系。

协整关系[1]反映的是经济变量之间的长期均衡关系，如果期间经济结构发生变化可能导致经济模型的结构发生变化，此时也必须考虑这种变化对于经济变量之间协整关系的影响，重新检验原有协整关系的存在性以及这种协整关系是否发生变化。对于非线性协整变结构的研究，无论国内还是国外尚处于初始探索阶段。根据变结构点前后模型的变化情况，变结构非线性协整可以分为分段线性型、分段非线性型、混合型、部分非线性型以及机理变化型变结构非线性协整等[2]。本文在机理变化型变结构非线性协整的理论方面展开研究，深入到其本质问题——单位根的结构突变检验，给出了基于Chow检验量的变结构协整检验方法。

1变结构非线性协整的相关概念

定义1 设m维时间序列X=x，x，…，x′，若分量序列x（i=1，…，m）是I（1）序列，X满足非线性协整，t∈T，T为全部时间序列集合，TT，TT，…，TT；T∩T≠，i，j=1，2，…，n，且i≠j；T∪T∪…∪T=T，α∈R，j=1，2，…，n。若如下关系式成立：Z=αX～I（0），t∈T，j=1，2，…，n，则称时间序列X是分段线性型变结构非线性协整。

这类时间序列在整体非线性协整的前提下局部表现出了线性协整的性质，说明了某些时点上协整参数发生了突变，使得序列分量间的均衡参数发生了变化，这种情况常发生在经济结构或政策发生制度性变化的情况下。

定义2 设m维时间序列X=x，x，…，x′，若分量序列x（i=1，…，m）是I（1）序列，满足X非线性协整，t∈T，T为全部时间序列集合，TT，TT，…，TT；T∩T≠，i，j=1，2，…，n，且i≠j；T∪T∪…∪T=T，fj（•）为非线性函数，α∈R，j=1，2，…，n。若如下关系式成立：Z=fT～I（0），t∈T，j=1，2，…，n，则称时间序列X是分段非线性型变结构非线性协整。

即指单整的时间序列整体上并未呈现出非线性的特征，而是在分段区间上表现出非线性的特征。

定义3 设m维时间序列X=x，x，…，x′，若分量序列x（i=1，…，m）是I（1）序列，t∈T，T为全部时间序列集合，TT，TT，…，TT；T∩T≠，i，j=1，2，…，n，且i≠j；T∪T∪…∪T=T，fj（•）为非线性函数，α∈R，j=1，2，…，n。若如下关系式成立：z=IαX+1-IfT～I（0），t∈T，j=1，2，…，n，其中I为指示变量，取值范围为0或者1，则称时间序列X是混合型变结构非线性协整。

即指单整的时间序列整体上并未呈现出非线性变结构的特征，而是在分段区间上表现出线性或者非线性协整的性质，且这些区间是没有交集的。这种情况发生在经济结构或制度呈现出巡回更迭的环境下，类似一些经济指数做周期性的波动。

定义4设m维时间序列X=x，x，…，x′，若分量序列x（i=1，…，m）是I（1）序列，t∈T，T为全部时间序列集合，若存在子集TT，TT，…，TT，TT，…，TT，T∪T∪…∪T∪T∪…∪T=T，T∩T≠，i，j=1，2，…，n，且i≠j；存在非线性函数fj（•），满足如下关系式：

Z=fX～I（0），t∈T∪T∪…∪T，j=1，2，…，p

若对任意α∈R均有：Z=αX～I（1），t∈T∪…∪T

则称时间序列X是部分变结构非线性协整。即指时间序列在某一时点以后或以前存在协整关系,而另外的时序集合里非线性协整关系不复存在。这可能是由于协整变量发生了趋势变化或者是分布状态发生变化使得固有的协整关系发生了变化。

定义5设m维时间序列X=x，x，…，x′，s维时间序列Y=y，y，…，y′，分量序列X（i=1，…，m）是I（1）序列，t∈T，T为全部时间序列集合，若存在子集TT，TT，…，TT，TT，TT，…，TT；T∩T≠，i，j=1，2，…，n，且i≠j；T∪T∪…∪T∪T∪…∪T=T；存在非线性函数fi（•），gj（•），i=1，2，…，n，j=p+1，…，n，满足如下关系式：

Z=fX～I（0），t∈T∪T∪…∪T，i=1，2，…，pZ=fX+gY～I（0），t∈T∪…∪T，j=p+1，…，n

则称时间序列X是机理变化型变结构非线性协整。

它表明在已有的非线性协整关系基础上，可能由于新的变量进入了系统而使得原来系统的均衡状态遭到破坏，而形成另一种新的均衡关系。在有新变量进入或者退出的情况下，通常容易导致异常点的出现，、或数据波动程度的加剧，其直接结果就是使经济时间序列在变化的同时常常伴有数据结构上的变化，其中包括均值突变、趋势突变以及均值和趋势的双突变。实践证明，对于在趋势或水平值存在结构突变的过程来说，如果不考虑这种突变，用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变或水平值突变的退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程，进行单位根检验时不考虑结构突变会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。

2几种结构突变的单位根检验方法

2.1 Perron方法[3]如果时间序列的结构突变点已知，那么可在ADF检验式中加入描述结构突变的虚拟变量。序列中含有多少个突变点就相应加入多少个虚拟变量。检验单位根的零假设：时间序列是含有结构突变点的单位根过程；备择假设是：时间序列是含有结构突变点的趋势平稳过程。以此来判断新进入系统或退出系统的变量对数据所产生的影响。

2.2 Zivot-Andrews方法[4]Z-A在Perron信息值离群（IO）检验式的基础上，取消结构突变点已知的约束，将其内生化。零假设是时间序列为不含有结构突变的单位根过程。检验式中含有描述内生结构突变的虚拟变量，并设定突变点在整个样本范围内移动，将得到一个单位根检验统计量序列。从中选择最小的一个与临界值比较，若大于临界值，则接受原假设，若小于临界值，则接受备择假设。

2.3 BLS（Banerjee-Lumsdaine-Stock）方法BLS采取在原样本范围内连续抽取不同子样本的方式提出3种检验方法：递归检验、滚动检验和循序检验。递归检验法是首先从原样本第一个观测值开始，先取一个样本容量为原样本容量1/4的子样本，然后，按顺序子样本每次增加一个观测值，直至子样本与原样本容量相同。在每一个子样本条件下，估计ADF统计量，将得到一个ADF值序列。滚动检验法是选一个固定的子样本容量（一般取原样本容量的1/3），让子样本范围在原样本范围内逐期平移。通过检验，同样会得到一个ADF值序列。循序检验与ZA检验相似，给出带确定项和描述结构突变虚拟变量的ADF检验式，让假定的突变点在样本范围内逐期移动，从而得到一个ADF值序列。3种检验方法得到的都是一个单位根检验统计量值的序列。从中选择最小的一个值与临界值比较。若大于临界值，认为原序列是单位根过程（原假设）；若小于临界值，认为原序列是带有结构突变的趋势平稳过程（备择假设）。

2.4 Perron退势法（适于内生性结构突变的单位根检验）[5]在结构突变点未知的条件下，Perron主张先用带有描述结构突变变量的时间趋势项退势，yt=α+βt+λD+μt，其中，D=t-t，t＞t0，tt，然后用退势的序列进行ADF检验。对所有可能的结构突变点t重复上述步骤，一般的t/T应位于样本的15％～85％之间，以保证较高的检验功效，然后在所有的t中找mint与相应的临界值比较，若大于临界值，则原序列是具有结构突变的单位根过程，否则原序列是结构突变的趋势平稳过程。

解决了结构突变的单位根检验问题，就可进行下一步的协整关系是否存在及是否发生变化的检验。

3机理变化型变结构协整关系检验

非线性协整函数f（•）的估计是时间序列非线性协整建模研究中的重点和难点，近年来有学者利用小波神经网络进行非线性协整建模研究，给出了小波神经网络的训练算法，并对沪深股市进行了实证研究。国外学者将线性协整系统的误差修正模型推广到非线性形式，给出了具有代表性的Granger-Hallman模型、Granger-Swanson模型、Hendry-Ericsson模型。但目前协整系统的变结构研究和非线性协整研究尚处于起步阶段，此处先对机理变化型变结构线性协整进行研究。

3.1 机理变化型变结构协整模型假定机理变化型的变结构协整可以设定为[6]：x=μ+αx+u，t=1，2，…，[T]μ+αx+′x+u，t=[T]+1，…，T

式中：μ为常数项；为常数向量， ∈RS，x为新的s维向量时间序列。

H0：ut=r0+γt+zt （1）

式中t=1，2，…，T；r0，γ为常数。zt～I（0），并且满足Phillips条件[7]：

假设 过程z满足：

①Ez=0

②；Ez＜∞，γ＞2

③长期方差σ=Ezz存在；

④对于每个τ∈（0，1）， varTz=τσ

且 varTz=（1-τ）σ。

H：u=r+γt+z，t=1，2，…，[τT]u=r+γt+z，r=r+v，t=[τT]+1，…，T（2）

式中：r，γ是常数；z～I（0）；z～I（0）；v～i.i.d0，σ。

如果备择假设成立，则说明当t[τT]时，协整关系存在；而在t＞[τT]时，协整关系不复存在。

3.2 机理变化型变结构协整建模步骤

3.2.1 对式x=μ+α′x+utx=x+v （3）

进行协整关系存在性检验，如果t=1，2，…，[τT]时协整关系存在，则进行下一步。

3.2.2 用Chow统计量[8]检验零假设H0（式（1））与备择假设H1（式（2））。

若zt的长期方差σ=TES在t=[τT]时存在漂移，可以构造统计量

F（τ）=（4）

其中

S（τ）=z，t=1，2，…，[τT]；S（τ）=z，t=[τT]+1，…，T；

S（τ）=[τT]z+2[τT]W（j）zz；

S（τ）=[（1-τ）T]z+2[（1-τ）T]W（j）zz；

Wl（j）=1-j（l+1）-1，l的取值应随样本量的增大而增大。

可以采用如下三种方法[8]来检验结构是否发生变化。

①max Chow检验：F=F（τ），J=（0，1）； （5）

②mean Chow检验：EF=F（τ）dτ，J=（0，1）； （6）

③exponential Chow检验：expF=logexpFτdτ，J=（0，1）。 （7）

3.2.3 若H0被拒绝，则由式（8）估计变结构点。

假设实际的结构变点t=[τT]未知，设（τ）表示协整回归的第一步静态回归的残差，即，t（τ）=x-′x，t=1，2，…，[τT]x-′x-′x，t=[τT]+1，…，T，

=arg （τ）；（8）

3.2.4 分别用t=1，2，…，[τT]和t=[τT]+1，…，T两段序列建立协整序列间的误差修正模型。

4结论

变结构非线性协整问题是经济系统建模中的新兴课题，尤其是我国处于经济转型时期，能否准确反映复杂经济关系和经济结构的变化是经济建模成败的关键所在，也是变结构非线性协整建模的任务所在。本文完善了变结构非线性协整的定义，即变结构非线性协整可以分为分段线性型、分段非线性型、混合型、以及部分非线性、机理变化型变结构非线性协整等。对于机理变化型的变结构非线性协整，指出其本质问题即单位根的结构突变检验，总结了几种结构突变的单位根检验方法。在未知变结构点的情况下，对于机理变化型变结构协整的建模问题，本文提出首先检验协整存在性，然后基于Chow统计量检验变结构的存在性以及变结构点的搜寻，估计出变结构点后分段建立协整序列间的误差修正模型。

参考文献：

[1]Engle R F，Granger C W J.Co-integration and errorcorrection: representation，estimation and testing[J].Econometrica，1987，55：251-76.

[2]韩勇，李容花.关于分段非线性型变结构协整的研究[J].统计与决策，2009，（12）.

[3]Phillips P C B，Perron P.Testing for a unit root in time series regression[J].Biometrika，1988，75：335-346.

[4]Andrews D W K.Tests for parameter instability and structural change with unknown change point[J].Econometrica，1994，62：1383-1414.

[5]Zhongjun Qu and Pierre Perron（2005），Estimating and testing Structural Changes in Multivariate Regressions.

[6]杨宝臣，张世英.机理变化型协整变结构检验[J].系统工程理论方法应用，2006，15（1）：61-64.

[7]Phillips P C B.Multiple regression with integrated processes[J]. Contemporary Mathematics，1988，80：79-105.

[8]Quandt R E.Tests of the Hypothesis That a Linear Regression Obeys Two Separate Regimes[J].Journal of American Statistics Association，1960，（55）.

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