用指数下降法求解非线性方程

摘 要：本文主要论述通过局部指数逼近和差商近似，构造一种不用计算导数的线性收敛的非线性方程指数下降法。

关键词：非线性方程 指数下降法 求解

1. 指数下降法的构造

非线性方程

2. 数值试验

指数下降法的有效性有待于实践检验。这里我们给一些具有代表性的问题，同时用指数下降法和割线性解这些问题，取相同的迭代初值x 和x 计算在指定区间［a，b］内的解x 的近似值 ，要求 与x 充分接近，满足|f( )|＜ε=10 时终止迭代。

指数下降法(14)和割线法(15)都是超线性(1.618)收敛的，我们分别用这两个迭代公式求上述六个问题的数值解，将所得数值结果列于下表。表中的数值结果是用双精度运算得到的。

3. 推广

这里通过对特殊初值问题(2)—(3)导出的数值方法(11)得到了指数下降法(14)。应当指出的是利用局部指数逼近的思想同样适合于解一般的初值问题

此时可得相应的常微分方程初值问题的数值解法

这是一个显式单步方法，容易验证，方法(17)的局部截断误差T =O(h )。

特别，方法(17)是A稳定和L稳定的，并且对一切λ是指数拟合的 。事实上，将方法(17)用于试验方程

由以上讨论可见，方法(17)适合于求解刚性常微分方程初值问题。

参考文献：

［1］吴新元.解非线性方程的常微分方程方法.南京大学学报(自然科学)，1995，(31)：No.1，15-19.

［2］吴忠麟，吴新元.解非线性方程的一个非线性迭代法.高等学校计算数学学报，1995，（17）：No.4，318-322.

［3］吴新元.改进的割线法及其大范围收敛性.南京大学学报(自然科学)，1994，（30）：No.4，583-588.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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