三维非谐势阱中BEC混沌动力学研究
时间：2022-03-05 09:55:22 浏览次数：次
【摘要】玻色—爱因斯坦凝聚（BEC）是一种新的物质形态，一个宏观量子系统。本文在平均场理论和双模近似的框架下，推导出研究玻色—爱因斯坦凝聚体动力学行为及其性质的数学模型Gross-Pitaevskii方程，用数值方法通过Fortran语言和Matlab程序模拟研究了该系统基态波函数和化学势随非线性项的变化，并对其混沌特征和吸引子等非线性动力学参数做了分析，并从模拟数据发现了在临界值处直接由周期态进入混沌态，没有经历准周期行为，而且状态随初始条件的变化而变化，从瞬态混沌到定态混沌经过了一系列的分岔的现象。
【关键词】玻色-爱因斯坦凝聚；G-P方程；非线性动力学分析
1.引言
玻色—爱因斯坦凝聚是科学巨匠爱因斯坦在1925年预言的一种新物态。这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态（通常为基态）。在预言提出70年后，终于在美国的JILA小组和MIT小组分别用碱金属原子87Rb和23Na通过激光冷却、静磁阱与蒸发冷却等技术实现了。后来相继实现了氢原子的玻色—爱因斯坦凝聚、费米原子组成的分子和费米原子对的玻色—爱因斯坦凝聚。这种新的物态特性的研究在近几年有广泛和迅猛的发展，当前在玻色—爱因斯坦凝聚领域里关于强作用费米子体系、以及费米子与玻色子混合系统的费什巴赫共振的实验研究进展迅速，竞争激烈。逐渐引起了全球广泛的科学研究兴趣。我们知道《国家中长期科学和技术发展规划纲要（2006-2020）》中将量子调控列为基础性前沿研究方面的四项重大科学计划之一。今年在中科院物理所举办的第一届国际“光与原子的量子调控”研讨会中将冷原子、玻色—爱因斯坦凝聚列为首个话题，足见玻色—爱因斯坦凝聚研究对量子调控基础研究的重要性。
这些原子组成的集体步调非常一致，因此内部没有任何阻力。激光就是光子的玻爱凝聚，在一束细小的激光里拥挤着非常多的颜色和方向一致的光子流。超导和超流也都是玻爱凝聚的结果。玻爱凝聚态的凝聚效应可以形成一束沿一定方向传播的宏观电子对波，这种波带电，传播中形成一束宏观电流而无需电压。原子凝聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确定位等。玻爱凝聚态的原子物质表现出了光子一样的特性正是利用这种特性，哈佛大学的两个研究小组用玻色-爱因斯坦凝聚体使光的速度降为零，将光储存了起来。
目前，有关BEC的研究在理论、实验和数值模拟等方面都获得了许多有意义的结果。尤其是数值模拟方面，BEC的形成、凝聚体的形状和演化都受到人们的极大的关注。我们知道在一维情况下，双原子作用体系的BEC性质已经获得相关实验结果很好的佐证。本文基于平均场能量泛函和变分的方法，研究更一般情况下（三维球对称非谐势阱中）玻色凝聚气体的G-P方程的基态解，并由此利用软件模拟数值分析得到了波函数、化学势等随非线性系数的变化规律，并用瞬态混沌特征和吸引子两个指数描述了系统的混沌动力学行为。
2.研究模型
对于由N个全同的无自旋的玻色子组成的系统，波函数满足粒子交换对称性。也就是说其适用于多体系统最简单的近似（Hartree—Fock近似），即可以把系统的波函数表示成单粒子态的乘积形式。T=0的BEC系统是该种情况的一个特例，这时该近似就是通常所说的Gross—Pitaevskii近似或者平均场近似。Bogoliubov早在1947年就指出，平均场理论可以较好地描述多粒子量子体系。也就是说BEC（一个在绝对零度下束缚在外势阱中的多玻色子量子体系）用Gross-Pitaevskii方程作为研究其动力学行为及其性质的数学模型是正确的。
我们知道简化在一维谐振外势作用这种情况下，BEC所满足能量泛函方程，即G-P方程为：
（1）
上式中，为玻色凝聚气体的波函数，为反映原子间的相互作用耦合常数，a为原子的S散射波波长，m为原子质量，N为凝聚体的原子数。
我们考虑时情况，即就是能形成稳定的BEC凝聚情况。设（为系统化学势），求系统稳态解，得满足的方程为：
（2）
在谐振势阱中引入非谐作用项（即将谐振势阱转化为非谐振势阱）：
（3）
其中、、为外部势阱在x，y，z方向的角频率，为描述非谐作用的常数。这时，我们可以将方程（2）转化为非谐振势阱情况。如果我们再考虑其中最简单的形式，即：当>>，>>，三维G-P方程可简化为一维形式：
（4）
令，，，，，代入（4）式，并进行坐标变换：，方程（4）式可写为：
（5）
由上述分析，推广得到其三维方程形式：
（6）
其归一化条件为：
（7）
3.非线性动力学分析
通过有限元方法对上述问题进行数值求解，当玻色凝聚气体原子间的相互作用比较弱时（<10），选择=0时理想玻色气体的波函数作为试探波函数，当原子间的相互作用比较强时（>10），选择托马斯-费米模型的解作为试探波函数。
为了保证基态波函数求解的精度，这里我们采先用Fortran语言代替Matlab程序数值求解基态方程（6），我们可得到基态波函数和化学势随非线性系数的变化情况如下图所示：
图1 ε1=0.1时基态波函数随非线性系数
增大变化情况（按自上而下的顺序）
图2 ε1=0.1时基态化学势随非线性系数的变化
从图1可以看出，囚禁在三维球对称非谐势阱中玻色-爱因斯坦凝聚气体随非线性系数增大，即BEC原子间相互作用增强时，基态波函数的分布变宽为超高斯型；从图2可以看出的基态化学势因为原子间的相互作用增强（变大）而增大。
我们知道，三维囚禁势中BEC是一个典型的耗散系统。因为阻尼效应，耗散系统有一个很重要的结果：随着时空变量的变化，相空间结构将会收缩。在变化的过程中，存在这样的一般特征：经过一系列的瞬态周期，系统的变化杂乱无章，直到最后趋于一系列的周期稳定的吸引子，这种现象被称为瞬态混沌[13]。在进入最终规则吸引子之前，对任意的初始条件都将产生瞬态混沌。为了展现从瞬态混沌到规则和固定的混沌吸引子的吸引过程，这里采用数值方法来说明瞬态混沌。
凝聚原子样品取为23Na，m=23mp，mp是质子质量，光学晶格的波长589nm，当阻尼效应不能忽略时，我们需要重新考虑系统的动力学行为。不难看出，当相位与时空变量成线性关系时，例如：
方程（6）可以化为：
（8）
上式，R和是耦合的，利用Matlab程序即可求解方程（8），画出在等相位空间中的瞬态混沌和最终的规则吸引子的相空间轨道图，如图3所示。
图3 等相位空间的相空间轨道图
（左边一列显示了系统的瞬态混沌特征，右列表示对应的规则吸引子和混沌吸引子）
在图3中，从到200表示瞬态混沌吸引子的形成。对于不同的值，系统具有不同的瞬态混沌，并且这些混沌吸引子随着时空坐标从1000到2000的演化最终落到不同的规则吸引子上去。当光栅的强度V0=1.8时，图3（b）表示最终的规则吸引子为一闭合的单周期轨道。当光栅强度由1.835增加到1.85时，如图3（d）和（f）所示，最终的规则吸引子变成双周期和四周期闭合轨道。在数值模拟过程中，通过细致调节光栅的强度发现，当光栅势增加到1.9时，相空间轨道将从图3（g）的瞬态混沌变成图3（h）的定态混沌吸引子上。这些过程说明从瞬态混沌到定态混沌经过了一系列的分岔。
4.结论
本文基于量子多体理论中托马斯-费米模型和平均场理论，分析了更一般情况下（三维球对称非谐势阱中）研究BEC具体的数学模型，并用变分法和求解微分方程ode45数值方法对系统波函数、化学势等随非线性系数的变化做了模拟图。根据模拟图，发现非简谐势能项对玻色-爱因斯坦凝聚体的波函数、基态化学势的影响，即引入了非谐作用项。最后对这个耗散系统的混沌特征做了动力学分析，为进一步讨论凝聚体的性质提供了数值参考。
参考文献
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作者简介：张乾（1983—），男，江海职业技术学院教师，研究方向：光电技术，非线性物理。
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