一类拟Hamilton碰振系统的全局分岔及多解共存现象分析

基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目（11225212）；国家自然科学基金资助项目（11372101，11002052）

作者简介：张思进（1971-），男，安徽潜山人，湖南大学教授，博士

通讯联系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙410082） 摘要：研究了一类拟Hamilton碰振系统的全局动力学特性，参照同宿轨道的Melnikov函数形式，构造了周期轨道次谐Melnikov函数.并用一类拟Hamilton碰振系统详细介绍了其计算方法和运用，数值结果验证了构造的次谐Melnikov函数的有效性.另外用改进的胞映射方法对这类系统的全局分岔和多解共存现象进行了分析，发现随着外激励力的变动吸引子数量发生变化，各个吸引域形态复杂且相互缠绕.

关键词：拟Hamilton系统；Melnikov方法；同宿轨道；分岔；多解共存；胞映射

中图分类号：O322

非光滑动力系统广泛地存在于工程力学、工程机械、电子电路、生态种群等多个科学领域，主要形式包括碰撞、冲击和干摩擦等.由于非光滑系统的相空间中的流不连续，这类系统常常有非常复杂的动力学行为，包括传统上的倍周期分岔、鞍结点分岔，也会产生新的分岔形式，如擦边分岔、黏滞滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非线性动力学系统中，通过计算稳定流形和不稳定流形之间的距离，Melnikov 方法广泛运用于计算拟Hamilton系统产生混沌运动的参数阈值＼[5-7＼]；郑吉兵等＼[5＼]计算了拟Hamilton系统的Melnikov函数，并得出了系统的Hopf分岔条件.赵跃宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿轨道所对应的Melnikov函数，并且得到了产生混沌时的系统参数阈值.由于非光滑拟Hamilton系统相空间中的流在切换面附近的可微性被破坏，直接采用Melnikov方法变得不可行.针对非光滑动力学系统必须构建新的Melnikov函数来分析系统的全局特性，目前国内外研究的还比较少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]构建了非光滑碰振系统同宿轨道的Melnikov函数，能很好地预测在碰撞面和外激励共同作用下同宿轨道发生破裂产生混沌的参数范围.Liang等[10]研究了分段形式的拟Hamilton系统，给出了有关极限环分岔以及Melnikov函数展开形式的结果.但是这些少量关于非光滑系统的Melnikov函数计算方法的文章也只是针对同宿轨道而言的，并没有考虑同时存在的同宿轨道内部周期轨道族在碰撞面和激励力共同作用下的多种非线性动力学现象.

湖南大学学报（自然科学版）2014年第10期张思进等：一类拟Hamilton碰振系统的全局分岔及多解共存现象分析本文首先介绍了拟Hamilton碰振系统同宿轨道的Melnikov函数的计算方法，得到同宿轨破裂产生混沌的参数范围；然后参照同宿轨道的Melnikov函数形式，类似给出了周期轨道次谐Melnikov函数形式，并用一类拟Hamilton碰振系统作为算例，详细介绍了其计算方法和运用，数值结果验证了我们构造的Melnikov函数的有效性.另外根据同宿轨道的Melnikov函数和次谐轨道Melnikov函数确定的区域将整个参数范围分为3个区域，并对其中运动形式较复杂的重叠区域绘制了全局分岔图，运用改进的胞映射方法进行全局动力学分析，发现系统存在多种吸引子共存现象，随着激励力变化吸引子数目形态发生变动，且各个吸引域形态复杂、相互缠绕.

1同宿轨道的Melnikov方法

2周期轨道次谐Melnikov函数及混沌分析

虽然针对非光滑碰振系统同宿轨道的Melnikov函数已给出，能很好地预测同宿轨道破裂产生混沌的参数范围，但是并不能解释（在非混沌区域）同宿轨道内部存在的一簇簇周期轨道在激励力和碰撞面的共同作用下产生的各种非线性运动现象.本文尝试给出非光滑碰振系统共振周期轨道次谐Melnikov函数，用以确定系统可能出现的次谐周期解参数范围.考虑双边刚性的约束广义碰振系统，系统的模型方程同上，具体表达式见（1）.在同宿轨道内部围绕中心有以参数为α的周期轨道族（如图1所示），左右对称，本文分析x>0部分.

参照同宿轨形式，类似给出周期轨道次谐Melnikov函数的形式，也是分为两个部分：类似光滑非线性动力系统部分和碰撞面部分，分别为第一部分和第二部分（如公式（3））.则次谐轨道Melnikov函数可以假定定义为：

2.1周期轨道次谐Melnikov函数运用算例

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