基于Ｍａｔｌａｂ的索膜结构有限元找形分析
时间：2022-03-05 10:03:14 浏览次数：次
摘要：本文基于修正的Lagrange坐标描述法,应用Matlab软件进行了索膜结构非线性有限元找形的程序编制，程序中使用Newton-Raphson法进行迭代。通过实例计算，与其它专业软件进行了对比，不但相互验证了程序的正确性，而且证明了Matlab程序的易编性和收敛速度快的特点,可供索膜结构分析、设计时使用。
关键词：有限元；Matlab；几何非线性；Newton-Raphson
1 引言
索膜结构是一种特殊的结构，与传统结构不同的是其刚度由结构的几何曲面和预应力来提供。为了使薄膜结构具有一定的刚度，必须对其施加预应力，以确定满足平衡条件和建筑使用要求的初始平衡形态。因此初始平衡形状的确定（找形）是张力膜结构设计的首要步骤，也是设计中至关重要一步。索膜结构初始形态确定和荷载状态分析的主要方法有：力密度法、动力松弛法和非线性有限元法等。目前应用较广的方法是非线性有限元法，这是由于非线性有限元法具有较高的计算精度，并且随着计算机运行速度的大幅度提高，也在一定程度上提高了该方法的计算速度。基于非线性有限元法的索膜结构形态确定的计算方法又可分为支座提升法和节点平衡法。本文将使用支座提升法，自行编制Matlab程序与其他专业软件进行对比。
2 主要公式
索膜结构在荷载作用下尽管应变很小，但位移较大，所以在建立平衡方程时就必须考虑结构的几何非线性，即平衡条件应该建立在变形后的形状上，同时一阶线性应变与真实应变之间存在较大的误差，需要考虑位移对坐标的二次导数，因此结构的平衡方程和几何方程都将是非线性的。本文中的有限元模型采用了三角形平面膜单元与两节点杆单元，由于篇幅关系，仅介绍程序中所使用的几个重要的有限元公式。
2.1 索膜结构找形方程
经过文献[1]在一定的假设情况下，推导得到了索膜结构找形的平衡方程如下：
注意：1）以上的求和公式并不是简单的相加，而是一种矩阵组合中的对位叠加。
2）式中的坐标值x、y为相对坐标系下的单元节点的坐标值。
3） T为局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵，索和膜的T参见文献[1]。
4）计算KeL时，式中的弹性常数取很小的值，在本程序中为真实材料常数的10-6倍。
5）AC为索截面面积，?滓e为索的初始预应力。
3 Matlab找形实例分析
例1 本文选用对称的无索菱形双曲抛物膜面，对角线长为10m，临近支座高差为2m，x,y方向的预应力均设为2MPa，对于此类无索结构，采用了固定边界的方法，即设成形后的边界为一直线，并把该边界上的节点固定。其平面有限元模型如图1、四分之一节点图如图2、找形结果图见图3。表1为Matlab程序计算值与理论值的对比。由表可知，本程序计算结果与理论值比较误差不超过2%，所以该程序对薄膜结构形态分析是正确的。
例2 同样选用上例模型，只不过这次使用柔性边界约束（即加边索），对角线长为10m，临近支座高差为4m，x,y方向的预应力均设为2MPa，索的预拉力为30KN。增量位移收敛值0.0005m，经计算迭代了262次，找形结果见图4。本文使用EASY、CAFA、Ansys和3D3S软件对该例进行找形计算并与自行编制的Matlab程序进行对比。计算结果见表2。从表中可以看到该程序对索膜结构找形同样适用。
4结语
本文程序使用Matlab软件进行编制，由于其具有强大的矩阵运算功能，编制程序非常方便。计算结果与其他软件对比非常接近,可供设计时参考使用。
因结构刚度矩阵较大，本文采用sparse命令将其变为稀疏矩阵来加快运算速度。
在找形过程中使用的是支座提升法，由于结构较为简单，增量步就取1即可迭代收敛。
本程序采用Newton-Raphson法进行迭代，每次计算出来的位移增量需更新坐标后，再次修正刚度矩阵和等效节点力列阵，这样做加快了找形的收敛速度。
找形过程中引入线性刚度矩阵只是数学上的处理，以防出现矩阵奇异，因此采用了小杨氏模量。本程序在后来采取不考虑线性刚度矩阵后，可以加快计算速度，但是对迭代次数和结果并没有影响，从而证明了非线性有限元找形与弹性常数（杨氏模量）无关。
参考文献
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[6]张志涌等编著. 精通MATLAB 6.5版[M]. 北京航空航天大学出版社,2003.
作者简介：白建昆(1977-),男，云南昆明人，硕士研究生，主要从事工程力学方面的研究。