关于导数的几点思考及其应用

摘 要：本篇文章首先根据导数的极限定义，延伸思考并探讨了导数定义背后的实质含义，并因此探讨了导数在数学及其他学科方面的应用。

关键词：导数

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2016）02-024-001

1.引言

1629年左右，法国数学家费马研究了曲线切线，以及求函数极值的方法，他构造了差分f（A+E）-f（A），其中的因子E就是我们现在常说的导数。17世纪，生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，数学家牛顿，莱布尼兹等开始系统的研究微积分。牛顿把变量称为“流量”，把变量的变化率称为“流数”，相当于我们所说的导数。19世纪60年代，德国数学家维尔斯特拉斯创造了“？着-？啄”语言，对微积分中出现的各种类型的极限重新加以表达，导数的定义也就有了今天常见的形式。

2.导数的定义及思考

导数（Derivative）是微积分中的重要概念。它描述的是函数的局部性质，描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数有着广泛的应用范围。求一个函数导数的过程也成为求导，与积分是一个互逆的过程，是微积分中最为基础的两个概念。其中导数的定义如下：

定义[1]：设函数y=f（x）于上有定义，x∈（a，b）固定，则定义导数f"（x）为差商△y/△x的极限

如果f"（x）存在且为有限，则称f在点x可导。

导数f"（x）又常记为y"，或者dy/dx，或df（x）/dx。

从上述定义看出，导数是一个极限。是当自变量收敛到零时，因变量的改变量与自变量的改变量比值的极限。即所谓的变化率。

我们知道，一个函数可导，则函数必连续。证明如下：

即函数是连续的。上述结论反之则不成立，即一个函数如果是连续的，则不一定可导。例如：函数y=x，在整个实数轴上都是连续的，但是在x=0这一点却不可导。

进一步研究导数的定义，我们发现：导数定义中的分式的分子与分母必须严格统一。即分母是函数自变量的改变量，分子则必须是对应两个自变量的因变量的改变量。例如：

当函数y=f（x）具有连续性时，我们有：

以及

但是

而

更一般的，我们有如下结论：

即在利用导数定义求极限的时候，必须把分子分母的自变量相对应统一起来进行计算。

3.导数的应用

导数是由速度变化问题及曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。与物理，几何，代数等关系密切。可以用来求切线方程，求速度，加速的等一切变化量的瞬时变化率问题。

应用一，求曲线在某一点的切线方程。

假设曲线方程为y=f（x），求函数在点（x0，f（x0））的切线方程。如果函数可导，则函数在点（x0，f（x0））的切线斜率为f"（x0），于是根据点斜式方程，可以得出函数y=f（x）在点（x0，f（x0））的切线方程为：y-f（x0）=f"（x0）（x-x0）。

如上图所示，点P0=（x0，f（x0）），P=（x0+△x，f（x0+△x））。当点P沿曲线

y=f（x）运动到P0=（x0，f（x0））时，割线PP0与曲线过点P0的切线重合。故切线斜率为 ，因此切线方程为y-f（x0）=

f"（x0）（x-x0）。

4.结论

本文我们深入研究了导数的定义，在充分了解导数的本质含义以后，我们给出了几个导数应用的经典例子。最后我们指出，在自然科学或者社会科学等各个学科中，凡是涉及到变化率的问题都可以利用导数或者高阶导的性质加以分析研究。

参考文献：

[1]欧阳光中，姚允龙，周渊编著.数学分析（上册），复旦大学出版社

[2]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编著.数学分析（上册），高等教育出版社

推荐访问:导数 及其应用 几点思考

---