数学模型在经济领域中的应用

摘 要：系统地介绍了构建数学经济模型的方法，给出数学模型在经济领域中的典型例子。说明了一个重要结论：数学建模方法在经济领域中的使用不仅在现在，也必将在未来对经济学的研究方法及经济效益实现带来前所未有积极推进作用。

关键词：模型；经济；经济效益

当今时代是一个信息高度丰富的时代，其显著特点之一就是数学的应用向一切领域渗透，进而产生了许多与数学相结合的新学科或边缘学科，如：生物数学、经济数学和地质数学等。而数学建模就是为了解决各种复杂问题而诞生的一种十分有效的数学手段。当代西方经济就认为，经济学的基本研究方法，是分析经济变量之间的函数关系，建立有效的经济模型，从中引申出新的经济原则和理论进行决策和形势预测，运用数学建模方法更好的解决经济问题、获得最佳经济效益。近几年来，世界各国在经济方面取得的许多成就都证明：数学经济建模会促进经济的发展，带来现实的生产效益，并对经济决策科学化、定量化起到重要的影响作用。如果把经济学研究中应用数学的程度分为四个等级：特强、强、一般和弱。则可以对获得诺贝尔经济学奖得主进行划分：其中有56%的人可以被评为“特强”，占全体获奖者一半以上；有29%的人被评为“强”；被评为“一般”和“弱”的人共占全体获奖者的15%。这也从一个侧面反映出数学学科于经济领域的紧密结合促使经济学研究更加发展，也反映出数学建模方法确实在实际的应用领域取得了十分丰硕的成果。可以预测，数学向经济领域的逐渐渗透，必将使得经济研究更加深入，经济活动的目的更加容易实现。

一、基本概念：

经济学，是一门研究如何有效配置与管理稀缺资源的理论。本文所涉及到的经济学是指广义的经济学，包括宏观经济学、微观经济学、金融学、市场经济学等。所谓的数学经济建模，是指用来描述与所研究的经济现象有关的经济变量之间的依存关系的理分析方法。简单地说，就是数学模型在经济领域中的应用。

运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似描述和解决经济活动中的实际问题，这种解决经济问题的强有力的数学手段就是数学经济建模。它是对客观经济事物间的空间形式和数量关系的一个近似反映。它对经济世界的实际问题加以提炼，抽象为数学经济模型，并求出模型的解，验证模型的合理性，最终达到运用模型解释现实经济问题的目的。从经济世界的现实来看，使用数学模型是经济问题的描述变得清晰，语言精炼；逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误，避免研究者被表面现象所蒙蔽；证明数据的数量化使得实际证明更具一般性和系统性；数学经济建模方法的使用是经济学研究者从已经有的数据中最大程度的获取有用的信息。可以使经济研究得到以前仅靠知觉和言语描述无法或不易得到的新结论；也使得国际间对数学经济建模的交流和沟通更加便捷

二、构建经济数学模型的方法步骤

一般来说，对于经济学问题，构建一个合理有效的数学模型主要有以下步骤。

（1）深入了解实际问题，以及与问题有关的背景知识。

（2）根據研究的目的和任务，对所要研究的现象进行全系统的周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行分组整理。

（3）通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因索，并找出主要因索，用数量和参数来表示这此因索。运用数学知识来描述问题中变量参数之间的关系，初步列出数学关系式。

（4）对数学关系式进行简化、合并，最终确立数学模型。

（5）使用已知数据及观测数据，利用相关数学方法求出所建模型中参数的估计值，从而确定模型。

（6）对所确定的模型参数进行偏差分析，把模型的结果与实际观测进行分析比较，以考察模型是否符合实际问题。若偏差较大，模型必须进行调整修改，重复前面的建模过程，直到建立出一个经检验符合实际问题的模型。

数学经济建模还可以用流程那样简明的形式来表示，概括起来，流程是由下面一些步骤组成的。

1.对现实经济问题的原始背景有深刻的了解和深入细致的观察，并从中抽出最本质特征的东西。即抓住主要因素，暂不考虑次要因素。从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。

2.根据已经掌握的经济信息直接翻译为数学术语，把理想化的自然模型表示成一个数学研究的题材———数学经济模型。

3.运用数学知识，得到关于这个模型的一个解。这一步要求对某些数学技巧具有一定的基础知识。为管理类的学生所学习的数学知识，提供了用武之地。

4.用理想化自然模型的术语对所得的解进行解释和说明。

5.根据问题的原始背景对所得的解进行解释和说明。

6.所得结果的有效性要加以验证。如果由模型算出的理论值与实际值比较吻合，则模型是成功的。如果理论值与实际值差别很大，则模型是失败的。如果理论值与实际值部分吻合，则应找原因，发现问题，修改模型。

三、数学经济建模的价值

（1）经济科学的发展需要数学建模方法的应用

在《经济分析基础》的中文版序言中，萨缪尔森说，不使用数理经济学方法是“不能使人超越经济科学的幼儿园的”。在现代，经济理论工作者越来越清晰地认识到，经济理论研究中级仅靠过去普遍使用的语言文字描述方法进行思辨式推理和分析，很难保证所研究的问题的规范性和推理逻辑的统一性和严密性，自然也就很难保证研究结果的准确性、易证性和理论体系的严密性。这就很不利于经济科学知识准确地交流和传播。而数学建模方法的使用，能使经济学研究对象准确具体、经济变量间的关系的数量化和确保逻辑推理过程的严密性，并最终在理论上保证所得结果准确具体。从而使所研究的经济理论建立在坚实的数学科学基础上，进而促进经济科学的不断发展。

经济年来，数学建模方法在经济领域中得到广泛的应用和发展，而且对经济学的的长足发展产生了深远的影响。例如投入产出模型、经济控制模型、经济增长模型、博弈论模型等都是利用数学建模方法来解决或解释实际的经济问题的，它们对现代经济科学的发展做出了十分重要的贡献。

（2）数学建模的应用使经济研究方法更加严密

纵观经济学发展，会清楚的发现经济学的每一次重大突破，都与数学有着密切的关系。投入与产出模型的应用，使国民经济各部门在生产过程中相互依存、相互制约的经济技术联系更加明确；最优化经济模型，是现代经济管理者在作出计划安排、资源分配和最优组合等决策时最常用到的数学工具；计量经济模型的应用，使经济理论的研究有了重要的突破；在运用了博弈论之后，对不去认定性问题的分析就有了突破性的进展。数学建模方法不断的应用于经济学的过程，强化了经济学与数学的联系。与此同时，也在不断改变着经济理论研究者的思维方式和行为习惯，使人们的思维和行为更具严谨和定量的特性。因為数学是最严谨的一种逻辑形式，而又有一些人在运用语言是容易逻辑不清。这就要求经济理论工作者在论述和交流中，从以往使用语言文字描述转变为使用数学语言描述。就是应为数学语言比较简练，表达概念时比较准确，听的人也比较容易明白。并且数学语言具有逻辑严谨、没有歧义和容易证明的优点。

四、典型数学经济模型及其经济效益分析----生产计划问题模型

一家公司计划制造两种计算机产品：两种计算机使用相同的未处理芯片，但是其中一种使用27英寸的显示器，而另一种使用的是31英寸的显示器，除了40万元的固定费用外，每台使用27英寸显示器的计算机花费1950元 ，而使用31英寸显示器的计算机需要花费2250元。制造商建议每台使用27英寸显示器的计算机零售价定为3390元，而使用31英寸的零售价为3990元。据营销人员估计，在这些计算机的销售市场上，一种类型的计算机每多销售出一台，每台的价格就下降0.1元。此外，两种类型的计算机的销售会互相影响：每销售一台使用31英寸显示器的计算机，估计使用27英寸显示器的计算机的零售价会下降0.03元；每销售一台使用27英寸显示器的计算机，估计使用31英寸显示器的计算机的销售价格会下降0.04元。现假设所有的计算机都可以销售出去，那么应该公司安排生产计划，才能时期生产利润达到最大？

（1）模型分析

这是一个优化问题，其目标是使利润最大化，要做的决策是如何安排生产计划。即使用31英寸显示器的计算机应该生产多少台，使用27英寸显示器的计算机应该生产多少台。有两个条件限制决策：一种类型的计算机每多销售出一台，它的价格就会下降0.1元；一台类型的计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售。

（2）模型假设

1.设使用27英寸显示器的计算机生产x1台，使用31英寸显示器的计算机生产x2台。

2.pi为xi的零售价格，R为两种计算机的零售收入，C为计算机制造成本，P为计算机零售的总利润。

3.制造的所有计算机都可以售出。

4.每种类型的计算机的零售价都受自身台数以及另一种类型台数的影响，当两种类型的计算机的台数已经确定时，则两种计算机的零售价格也相应的被确定。

（3）建立模型

约束条件：

，

，

两种计算机总的零售收入： ，

两种计算机总的的制造成本：

，

于是，所求的使获利最大的目标函数为：

。

（4）求解模型

由于目标函数是一个非线性方程，故可以将该模型输入相关软件求解。输出结果为： ，即生产4736台使用27英寸显示器的计算机，7063台使用31英寸显示器的计算机时可以使获利最大。

五、前景展望

数学经济建模在经济领域中的应用已经取得了丰硕的成果，经济学研究方法不断改进更新，不断贴近实际，不断为使用者带来可观的经济效益。在这样的现实世界的经济大背景下，数学建模方法的应用在经济领域中已经占有相当重要的影响地位，并且在未来这种趋势将更加明显。数学建模方法在经济领域中的使用不仅在现在，也必将在未来对经济学的研究方法及经济效益实现带来前所未有积极推进作用。

六、总结

数学建模在经济方面的应用在整合数学模型与经济基础知识的前提下，对不同的经济状况进行了，本篇论文在总结数学模型的历史背景下，对数学模型在经济领域的应用进行了整理和总结。这篇论文的本意是总结数学模型在经济领域的应用，在将数学模型应用在经济领域的同时，希望在其他领域也有所涉猎。因为现在是数据时代，我们生活中处处围绕着数据，运用数学模型分析复杂的数据并应用到实际中将为我们的生活提供很大的帮助和便利。

参考文献

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[2]李胜玉.数学在经济学中的应用[J].现代商业，2008，第18期：272.

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[4]陈金和.经济活动中的数学建模[J].黄石高等专科学校学报，2000，第16卷第4期：47～49.

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