分数布朗运动下带红利欧式交换期权套期保值研究

[摘 要]为体现资产的长相关性，考虑分数布朗运动下带红利欧式交换期权套期保值问题。设标的资产服从分数布朗运动驱动的随机微分方程，运用二次对冲法得到离散时间下保值策略的显示解。该解由交换期权的定价函数和标的资产的价格给出，更利于提高模拟的可行性和效率。

[关键词]套期保值；分数布朗运动；二次对冲

[中图分类号]O211.63 [文献标识码]A

1 引言

经典的Black-Scholes期权定价模型中假设金融资产不支付红利，且其对数收益率服从正态分布。然而实证研究表明：该模型不能描述资产价格的长期相关、“尖峰厚尾”等性质。于是学者们提出用分数布朗运动刻画资产的价格变动。

一些学者研究了与期权定价相关的套期保值问题，如张琳等（2017）利用随机微分对策的思想，获得了最优套期保值策略的显示表达。由于在现实中投资组合只能在某个离散时间点被调整，一些人开始关注离散时间下期权套期保值问题。基于已有成果，文章用两种二次对冲方法研究了分数布朗运动下欧式期权套期保值策略的显示解。

2 预备知识

交换期权是一种多资产期权，其收益=max（ST1-ST2，0），资产ST1，ST2满足的微分方程为

dSt1=St1（μl-ql）dt+St1σldWHl（t），l=1，2.（1）

其中WHl（t），l=1，2是两个相关的分数布朗运动，且有dWH1（t）dWH1（t）=2Hρt2H-1dt，ρ为相关系数。μl，ql和σl分别表示资产的预期收益率、红利率和波動率。（1）式也可表示为

dSt1=St1（μ1-q1）dt+St1σ1dBH1（t），（2）

dSt2=St2（μ2-q2）dt+St2σ2（ρdBH1（t）+dBH2（t））.（3）

BHl（t），l=1，2是相互独立的标准分数布朗运动，H∈（1/2，1）.

为对冲交换期权的风险，构造投资组合。该组合由无风险货币资产和两个风险资产S1，S2组成。设交易发生在离散时刻{T0，T1，…，Tn}上，k∈{1，2，…，n}，Tn=T.Skl表示Sl在时刻的Tk价格，r为无风险利率，令Skl=Skle-rTk表示Sl折现到T0的价格，βϵR表示T0时货币资产的投资量，V表示交换期权的收益.∆kl为投资组合在Tk-1，Tk上对资产Sl的持有量。为兑现交换期权的收益，在时刻Tn对两种标的资产的头寸∆n进行清算，对冲误差为

G（∆）=∑k=1n ∆kT（Sk-Sk-1）+β-（V，）（4）

其中V=Ve-rT.G取正代表期权卖方的收益。

风险中性测度即鞅测度，即EP （Skl|□j）=Sjl，0≤j≤k≤n，□j是时刻Tj的过滤集。此外，设期权的折现收益V和资产的价格Skl在风险测度P下平方可积。最小方差对冲是在测度P下寻找一种对冲策略∆=（∆1，…，∆n），使得对冲误差的总体方差VarP（G（∆，β，V） ）最小。

引理2.1 风险中性测度P下，交换期权最小-方差对冲方法的通解为

∆kgv=[CovP（Sk|□k-1）]-1CovP（Sk，Vk |□k-1），（5）

其中Vk=EP （V|□k）表示交换期权在时刻Tk的风险中性价格。

最优局部-方差对冲是在测度Q下寻找策略Δ，使得VarQ（Gk |□k-1）最小，Gk=EP（G|□k）.

引理2.2 市场概率测度Q下，交换期权最优局部-方差对冲方法的通解为

∆klv=[CovQ（Sk|□k-1）]-1CovQ（Sk，Vk|□k-1）.（6）

3 主要结果及证明

求套期保值策略的解，就是确定投资组合在（Tk-1，Tk）上分别持有资产S1 和S2的单位数。

定理3.1 设交换期权的收益为，其标的资产的价格Stl，l∈{1，2}满足（2）和（3）式。令δk=Tk-Tk-1表示当前交易与下一交易的时间间隔，则（6）在（Tk-1，Tk]上对应的显示解为

∆klv=（）=A-1B，

A=（ ），

其中

证明 要得到最优局部-方差对冲的显示解，必须计算（6）式中的条件协方差矩阵。对t1，t2，0≤t1≤t2≤T，利用分数Itô积分求解微分方程（2）和（3），得

（7）

（8）

这里εi，i∈{1，2}相互独立，且εi～N（0，1）.令t1=Tk- 1， t2=Tk，k∈{1，2，…，n}，δk=Tk-Tk-1.由于在测度下，欧式期权的折现价格是鞅，即Ek-1P （e-rδkVk（Sk1，Sk2））=Vk-1（Sk-11 ，Sk-12 ）.（下转页）

（上接页）

（9）

由引理2.2知要得到∆klv，必须先求条件协方差阵。有

（10）

（11）

（12）

由（10）-（12）式得

同理可得

协方差矩阵.

首先考虑矩阵对角线上的元素

同理得非对角线上的元素

定理3.1证毕。

由于风险中性测度的特征，故很容易得到最小方差套期保值策略的显示解，只需在定理3.1的基础上，令μ1=μ2=r.

4 总结

运用二次最优对冲法研究了离散时间下欧式交换期权的套期保值策略，这些策略不仅可以降低估计损失时的误差，如损失概率和期望，而且有助于资本的有效预算，达到监管的目的。同时，可以解决基于通解的模拟需要巨大的计算资源问题，更有利于计算机的实现。

[参考文献]

[1]张卫国，肖炜麟.分数布朗运动下股本权证定价研究—模型与参数估计[M].北京：科学出版社，2013.

[2]陈飞跃，杨蓉，龚海文.混合分数布朗运动环境下欧式期权定价[J].经济数学，2014（03）.

[3]张琳，刘宣会，陈会.具有随机波动的套期保值问题[J].纺织高校基础科学学报，2017（01）.

推荐访问:布朗运动 期权 保值 红利 分数

---