两个关于Smarandache均值问题的研究

【摘要】 本文应用初等方法及解析方法对Smarandache中阶乘数序列和n！的k次补数函数的均值问题分别进行了研究，并给出了一些相关的渐近公式.

【关键词】 Smarandache；阶乘数序列n！的k次补数函数；均值；渐近公式

引 言

数论是一门研究整数性质的学科，在数学中占有非常重要的地位，而数论问题中关于一些特殊序列及函数的均值性质的研究一直备受数论工作者和学者的关注. 长期以来，数论被人们认为是纯数学理论，而没有直接的实际应用价值，随着计算机的产生与发展给科学技术带来新变革的同时，数论也有了非常广泛的用途，成为一门最为有用的数学分支. 本文应用初等方法及解析方法对数论的两个均值问题进行了研究，给出了一些相关的渐近公式.

一、关于Smarandache阶乘数序列的均值

在文献[1]中， F.Smarandache教授要求我们研究阶乘部分的性质. 关于这样的问题，似乎很少有人研究，本节中我们将使用初等方法去研究阶乘部分的均值性质，并给出了一个有趣的渐近公式，具体过程如下：

首先，对任意的x≥1及任意固定的正整数n > 2，令n！ ≤ x < （n + 1）！，我们对两边取对数得到

ln t ≤ ln x < ln t

我们取f（t） = ln t，得到

n ln n - n + O（1） ≤ ln x ≤ n ln x - n + ln n + O（1）

可得ln x = n ln n - n + O（ln n）. （1.1）

根据（1.1）式，我们有n = + + O（1）. 两边再次取对数，我们就能得到ln n = ln ln x + O（ln ln ln x）.因此，我们可得（1.2）式

n = + O = + O

另外，对于任意正整数，令F（n）表示的n下阶乘部分. 设x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所构成的集合，

= = n = n（n + 1） =

+ O 2 + O （由（1.2）推得）

= + O

同理，用此方法还可以给出上阶乘部分的结果，可知

当x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所构成的集合， 可得渐近公式：

= + O

二、关于n！的k次补数函数的均值

设k ≥ 2为任意的自然数且n为任意的正整数，若bk（n）是使得n·bk（n）为一完全次幂的最小正整数，则称bk（n）为k次幂补数函数. 在文献[1]中， F.Smarandache教授建议我们研究k次幂补数函数的性质，但目前，关于k次补数函数的性质知之甚少. 本小节我们将利用初等方法来研究bk（n！）的渐近性质，并获得bk（n！）一个有趣的渐近公式，具体过程如下：

文献[2]已证明：如n！= p p …p 为n！的素数幂分解式，则有下列计算式（2.1）：

bk（n！） = bk（p ）bk（p ）…bk（p ）

= p ·p …p （2.1）

其中ord（pi），定义为k - 1，ifαi = km + 1；k - 2，ifαi = km + 2；0，ifαi = k（m + 1）.

其中m = 0，1，2…

文献[3]已证明： 对任意的实数x ≥ 2，A > 0是一个常数，且exp（y） = ey，则有渐近公式（2.2）

e（x） = ln p = x + Ox·exp （2.2）

根据（2.1），对两边取对数，我们有

ln bk（n！） = ln（bk（p ）bk（p ）…bk（p ） ）

= ord（p）ln p

= （k - 1） ln p + （k - 2） ln p + … +

ln p + （k - 1） ln p + … +

ln p + … + O（1） （2.3）

令n为足够大的正整数，若p的n！一个素因子时，则有

ord（pi） = 1 p∈ ，n2 p∈ ， 3 p∈ ，

根据（2.2）和（2.3），我们有

ln bk（n！） = （k - 1）θ（n） - θ +

（k - 2）θ - θ + … + θ - θ +

（k -1）θ - θ + … +

θ - θ + … + O（1） =

nk - 1 + + + … + +

k - + + … + + … +

On·exp .

= n - + On·exp

= nk - + On·exp

=nk - + On·exp .

即：对于任意的自然数k ≥ 2和任意的正整数n，且A > 0是一个常数，exp（y） = ey，我们有渐近公式

ln bk（n！） = nk - + On·exp .

【参考文献】

[1]F.Smarandache，Only problems，Not solutions[M].Chicago：Xiquan Publishing House，1993.

[2]Russo Felice.An Introduction to the Smarandache Square Complements[J].Smarandache Notions Journal，2002，13：160-172

[3]潘承洞，潘承彪.解析数论基础[M].北京：科学出版社，1999.

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