剖析高考试题揭示问题本质

摘要：笔者列举了2016年高考数学全国卷II和卷III中有关排列组合问题、几何组合计数问题、数列新定义计数问题方面的案例进行了分析和探究，发现此类题同根同源，其本质是一样的，由此得出数学问题的实质。

关键词：高考真题；案例剖析；揭示本质；提高技巧

2016年高考理科全国卷Ⅱ和卷Ⅲ的排列组合问题新颖有趣，表面上卷Ⅱ考查的是实际模型中的几何组合计数问题，卷Ⅲ考查的是纯数学的数列新定义计数问题，而如果站在更高的观点上，可以发现两题同根同源，其实本质上都是考查的是组合数学上的卡特兰数的应用。以下详加论述：

高考真题1（2016年全国卷Ⅱ高考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A. 24B. 18C. 12D. 9

解析：小明到老年公寓的最短路径可以分步完成：第一步，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，共走四步，只需选择哪两步向右走，共有C24种走法；第二步，会合后两人一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，共走三步，只需选择哪两步向右走，共有C13种走法。故最短路径条数为N=C24·C23=18。

高考真题2（2016年全国卷Ⅲ高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数。若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）

A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个

解析：依题意，当m=4时，数列{an}共有8项：4项为0，4项为1。且对任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数（即从左到右数，0的累计数不小于1的累计数）。分析易得a1=0，a8=1。再采用树形图列举，可知满足题意的数列{an}共有14个。

问题：若高考真题2问的是对于任意的m∈N+，则不同的“规范01数列”共有多少个呢？

要解决这个一般的问题，就必须理解这个纯数学问题的实际模型，其实高考真题2也可以理解为高考真题1实际模型的几何组合计数问题，具体理解如下：有一个4×4方格，一个质点开始在（0，0）（最左下角顶点处），每次走一步，向右走一步記为0，向上走一步记为1，最终要运动到（4，4）（最右上角顶点处）（且要保证该质点始终处于对角线y=x之下（含对角线））的最短路径的条数。

其实，我们可以将问题推广到更一般的情况：将m个红球，n个白球排成一排，要求任意位置及其左边的红球总数不小于白球总数，共有多少种排法？

可等价转化为：存在一个m+n元数组（a1，a2，…，am+n），其中ai∈{0，1}，i=1，2，…，m+n。且有m个1，n个0（m≥n）。

记Ai={k|a1，a2，…，ai中有k个1}，Bi={k|a1，a2，…，ai中有k个0}，且Ai≥Bi对i=1，2，…，m+n都成立。问这样的数组共有多少个？

答案：这样的数组共有Cmm+n-Cm+1m+n个。以下给出严格的证明。

证明：设点Pi（Ai，Bi）（i=0，1，2，…，m+n）。

则P0（0，0），Pm+n=（m，n），PiPi+1=（Ai+1-Ai，Bi+1-Bi）=（1，0）或（0，1）。

则将数组元素对应为m+n+1个点，数组对应为从P0到Pm+n的一条路径，且满足

Ai≥Bi对i=1，2，…，m+n都成立，其总的走法数为Cmm+n种。

若其满足题意，则其路径必在直线y=x的下方（含直线y=x）；

若其不满足题意，则必然有路径点在直线y=x+1上。

作P0（0，0）关于直线y=x+1的对称点为P′0（-1，1），

记A={从P0到Pm+n不满足题意的路径}，B={从P′0到Pm+n的总路径}。

评注：至此，我们给出了这个问题的完整解答。如果我们继续向上追问，就会发现此题的背景其实是组合数学中的“卡特兰数”（“卡特兰数”源于比利时数学家卡特兰在研究凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn，在组合数学、信息学、计算机编程等方面都有广泛的应用；卡特兰问题的解决过程大量应用了映射方法，堪称计数的映射方法的典范。），这就找到了问题的本质。从而也更加佩服高考命题人的良苦用心，原来2016年这两个排列组合题都同根同源，可以看成是一个复杂数学问题的两个特例。这样的命题对活跃学生思维，提高解题能力给予了很好的导向。

总之，本文通过列举2016年高考理科全国卷Ⅱ和卷Ⅲ的两道有关排列组合问题的高考真题，进行剖析、解答找到了问题的本质。原来这两个排列组合考点的试题本是同根同源，是一个复杂数学问题的两个特例。这样的高考命题将会进一步培养学生的思维能力，提高解题技巧，所以，我们在平时的教学中要特别重视这方面的引导。

作者简介：

陈菊红，宁夏回族自治区青铜峡市，青铜峡市第一中学。

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