台湾数学研究现况（下）

离散数学

在离散数学领域，图论是目前最为兴盛的一支，而着色问题则是图论的核心研究领域。这不仅是为了挑战四色定理难题，也可利用图论所提供的方法，为许多资源分配的现实问题找到理论上的适当解决方法。台湾在上世纪90年代开始，由均匀着色问题的研究出发，通过不断交流与相互启发，逐渐成为世界上研究着色问题的重镇。目前岛内主流研究方向集中在图的圆着色上，它是传统图着色问题的精致化，其前沿的研究成果有很大部分出自台湾，包括近期在Kneser图上的圆着色成果，极大扩充了Borsuk-Ulam定理的应用范围。而且通过探讨圆着色问题的内在结构，使得许多古典纯数学工具，如拓朴方法、概率方法、几何、动态系统分析等都得以发挥。另外，通过圆着色厘清了离散事件动态系统与scheduling之间隐晦的联系。这些连通甬道的发现，让组合数学工作者得以通过图着色问题，经chip-firing模式走向物理学的sandpiles非线性动力模式，也极自然地关联上软件工程、运输排程、并行计算机等领域内的问题。

其次是图分解问题，目前岛内研究主要集中在如何把图的边线集合划分开来，成为各种所需的图。台湾学者在有关路径分解、回路分解、星状图分解等方面都取得相当大的成果。除了基础研究外，部分人也开始探讨实际应用方面，例如与日本学者合作，将图分解理论用来处理DNA数据库规划、同步光纤网络的设计等问题。

目前台湾主流学者将图论的研究技巧与有限群理论、表示论、交换代数、代数几何、代数拓朴等结合，重点研究组合与图论性结构与物理化学性质，如通过对分子拓扑模型（即分子图）的研究来探讨其化合物的构造，利用匹配数学中Pfaffian方法与Dodgson的行列式求值规则，厘清无圈分子图的Wiener指标与匹配间的关系。

部分学者将分析中的泰勒展开式的概念引入组合数学中的生成函数，开展组合序列各种分布性质的研究，探讨有关单峰性、对数凹性、对数凸性和PF性质等，在组合、代数、分析、几何、电脑科学、概率和统计等方面都得到一定应用。

概率论的研究在岛内的发展起步较晚，直到上世纪80年代才有一批学者相继投入这方面的研究。几个主要研究领域包括马尔可夫过程、扩散过程、极限理论、自相似相关理论、相互作用粒子系统、统计物理、Martingale理论、白噪声分析、排队理论、财务数学理论、随机矩阵、赛局论等，取得较好的研究成果。

然而岛内从事概率论的研究大多以个人为主，大学数学系也一向以教授代数、几何、数学分析为主，学生对概率论接触的机会并不多，这也极大限制了相关领域的发展。目前仅在台湾中研院数学所有一个研究团队，与大陆有两年一次的双边学术交流活动。

计算科学

近20年来，台湾参与计算科学研究的人数有明显增加，其成果已成功应用到许多高科技领域，如超级电脑、平行计算、气象预报、空气动力学、量子力学、半导体元件设计、光子晶体、冷原子现象、燃烧科学等，并且随着新型计算机的不断问世，计算科学也在逐步改变和提高其计算方法。

台当局1990年召开的“第四次全台科技会议”将计算科学列为发展的重点。台湾科技主管部门从1992年起每年编列1500万元新台币作为岛内数学界发展计算科学的经费，鼓励数学家们与工程、资讯等领域研究人员合作组成研究团队，共同提出整合型研究计划（含三位以上主持人）。目前，岛内计算科学的研究领域大致可分为矩阵计算的理论及其应用、偏微分方程数值理论及方法。

近年数学领域重要成果

最近几年台湾数学领域取得的重要成果有：

关于陈-赛门-黑格（Maxwell-Chern-Simons）模型中的非线性分析及其相关椭圆偏微分系统方程的研究，得到规范场方程的孤立解，从而推出该解所描述的物理量，不仅能证明非特定拓扑以及非拓扑孤立解的存在，更可进一步对于特别绑定的的能量或电荷值，证明具备该能量或电荷的解的存在与唯一性。

成功突破了超李代数的表现理论，解决“不可约”特征问题，并找出最重要的基本不变量，清楚描述所有A、B、C、D四型超李代数的表现，确立李代数与超李代数表现之间的联系，是超李代数近20年来最重要的研究进展之一。研究团队发现在无穷维空间里，对称与超对称是可以互通的，其成功的关键在于所谓“超对偶”，并找出超李代数的不可约特征，也证实了李代数与超李代数之间的一种等价性，此一研究成果将进一步影响未来超几何与数学物理的研究。

函数资料的群集分析，利用函数随机展开式与子空间投影法，由函数主成分分析得到的子空间，定义不同的群集，再依订定的分群准则做群集分析。这项研究的特点是可定义各种相似测度来达到分群的目标，同时考虑群集子空间平均函数与共变异结构的特性，利于了解各群集间系统与随机结构的差异性，可广泛应用于生物医学、农业科学、化学计量学、气象学、心理学、行为科学、市场行销，财务计量、人口预测、脑图像科学、语言学等函数型资料的群集分析，例如成长曲线分析、cDNA微列阵表现数据。

不可定向流形上的模空间的上同调群的研究。这项研究的目的在于了解不可定向流形上的这种模空间的拓朴。首先在不可定向流形上的connection空间上定义一个有意义的能量函数，利用这个能量函数将整个空间层化后，再对每一层分别讨论。针对4个重要古典李群，对各层有了清楚的刻画，不仅说明其几何拓朴不变量可以详细地被计算，其算出的拓朴不变量也显示不可定向流形上的模空间与古典可定向流形上的模空间有根本性的不同。

欧拉管道流及交通流稳态解存在性及稳定性的研究。成功地利用几何奇异扰动理论，得到不同管道结构下稳态解的存在性及多重性，并通过能量估计法得到某类稳态解的线性稳定性。这项研究还利用此研究技巧，成功探讨管道截面积不连续的情况下稳态解的存在性问题、具粘滞及放松项影响下交通流模型稳态解的存在性与稳定性问题，及费兹霍夫-拉古姆（FitzHugh-Nagumo）类型的方程组行波解的存在性及复杂度，为多尺度问题的研究提供了一个极为有效的工具。

捕食者及被捕食者生物模型行波解的存在性研究。这项研究利用高维度的像空间分析、瓦如斯基理论和拉谢尔不变原理，在三维球上构建瓦如斯基集及李阿普诺夫（Lyapunov）函数，并证明此类模型存在着侵略波。其研究成果可推广到更为一般的掠食者模型，甚至涵盖了其他种类的传染病模型，对于非单调系统提供了一个很好的分析工具。

24维全纯型框架顶点算子代数的分类研究。理论物理学中全纯共形场论的分类可看成相对顶点算子代数的分类。该项研究利用框架顶点算子代数的表现论，严谨地建造出17个新的24维全纯顶点算子代数，当中包括蒙塔古（P.S.Montague）没有得到的第10号例子；同时，也确定了这些顶点算子代数重量1子空间的李代数结构，并确定其中几个例子的唯一性。所建造的顶点算子代数是Schellekens后唯一严谨的新例子，对如何构造其他的例子及解决整个分类问题有非常重要的影响。

失去异结合型分析系统。这项研究开发了一套能有效探测失去异结合型基因片段的方法与分析系统，用来分析全基因或订制化单一核酸多型性生物芯片数据，可同时用于估计同结合型的比率，找出染色体结构和基因型分布异常的样本，将具有相似的失去异结合型结构的样本归群，并定位出疾病相关的失去异结合型基因片段；此外，也可用于研究不同族群间连续长片段同结合型（LCSH）分布的异同，协助挑出基因中携带复杂长片段同结合型的样本，对具有不同遗传和演化背景的样本分群，并且定位出重要的长片段同结合型基因片段。由台湾中研院统计科学研究所组成的研究团队，将该分析系统实际应用于癌症研究上，成功地找到急性白血球疾病的致病基因，如ETV6和CDKN1B。

此外，台湾中研院统计所研究人员还发展出一套处理单套体病例的对照研究统计分析新方法，提出经验贝氏的方法与惩罚估计的方法，得出新的疾病单套体回归分析的缩减估计式，能显著地改进传统前瞻性及回溯性估计式。

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