广义二项式展开式在微积分课程中的教学意义

[摘 要] 对二项式展开式的推广是牛顿发明微积分的基石，大学本科微积分课程在教学中会涉及广义二项式展开式。对广义二项式展开式在微积分课程中的教学意义进行探讨，并对此部分内容的教学过程进行设计。

[关 键 词] 广义二项式展开式；HPM；数学思维方式

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）01-0096-03

一、引言

二项式定理，也叫牛顿二项式定理，是由牛顿于1664—1665年间提出。二项式定理可用下述公式表示：

（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N，

其中，把Ckn= 称为二项式系数（binomial coefficient），即取的组合数目，此系数亦可表示为杨辉三角形。根据该定理，可以将多项式（x+y）n扩展为涉及axbyc形式的和的总和，其中指数b和c是具有b+c=n的非负整数，并且系数a每个项是根据n和b的特定正整数。

二项式定理可以用数学归纳法证明：

当n=1时，则（a+b）1= Ck1a1-kbk=a+b。

假设二项展开式在n=m时成立。设n=m+1，则：

（a+b）m+1=a（a+b）m+b（a+b）m

=a Ckmam-kbk+b Cjmam-jbj

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Cjmam-jbj+1

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk+bm+1

=am+1+bm+1+ （Ckm+Ck-1m）am-k+1bk

=am+1+bm+1+ Ckm+1am-k+1bk

= Ckm+1am+1-kbk

二项式定理推广到任意实数次幂时称为广义二项式定理：

（x+y）α= Ckαaα-kbk，a∈R，

其中Ckα=

对广义二项式定理，一个常用形式为

（1+x）m= Ckmxk，m∈R

尤其，当上式左边指数为负整数时，得公式：

=（1+x）-n= Ck-nxk= （-1）kCkn+k-1xk，n∈N

牛顿推广二项式定理，得到的广义二项式定理，促使他以此为基础发明了微积分，然而他对廣义二项式定理的证明没有给出，欧拉尝试过，但也失败了，直到1812年高斯利用微分方法才给出了证明。

二、广义二项式定理在教学中的意义

广义二项式展开式作为数学史融入数学教学和数学思维方式指导数学教学的一个具体案例，我们基于HPM“数学史融入数学教学”的理念[1]，结合“教学三角形”理论，从三方面讨论广义二项式定理在教学中的意义：

（一）教师发展

教师是教育的活动主导者，教师的专业化发展对发挥教师的作用至关重要。教师也是从学生逐步过渡和成长为教师的，教师的知识构架不是天生的，是在不断学习和探索中完善起来的。广义二项式定理既涉及数学史，又涉及数学的创造性思维方式。搞清楚广义二项式定理的发展历程和对微积分产生过程的奠基性作用，对教师完善自己的知识构架，无疑是有很大益处的。

（二）教学内容

数学教学内容的选择是数学课程教学研究永恒的主题，对数学课程标准的改进和数学教材的优化更是数学课程改革所面临的核心问题。传统经典的教学内容，是引例、定义或定理、注解或证明、例题或应用，即知识性的教学内容。现代教学改革加入了很多应用性实例，既体现知识的应用价值，又讲解如何学以致用，这是一种进步，然而这进步还没有结束，现代HPM理念的提出，更是丰富了现代数学教学的内容。然而这还不够，素质教育要求培养学生的创新能力，而创新能力的关键是创新思维。

对创新思维的培养，笔者认为有两点很重要：其一，创新意识，要有提出新问题的意识，而不是习惯于随波逐流，勇于和习惯于提出新问题是创新意识的体现，也是创新的起点；其二，思维方式的学习，学习别人解决问题的思考角度、逻辑关系、灵感来源等，融会贯通之后用这些思维方式解决提出的其他新问题，这是创新的关键。

广义二项式定理一方面涉及数学史，这为丰富教学内容提供了更多的案例，另一方面，广义二项式定理作为牛顿发明微积分的起点，其不断提出问题，改进结果，不断融会贯通的过程，正是我们学习创新思维方式的极佳案例。

（三）学生成长

学生是数学学习的主体。“学生学会了什么”既是教学的起点，又是教学的归宿；既是教学过程的体现，又是教学有效的依据。学习广义二项式定理，对学生成长而言至少具有以下三方面的意义。

其一，知识的丰富。对广义二项式定理的学习有助于学生对数学知识的理解与技能的掌握。因为广义二项式定理展现了微积分理论的产生背景与发展过程以及揭示出数学创造背后的文化内涵，既有利于提升学生对理论的理解，又可以在一定程度上加深对概念本质的认识。

其二，思维的培养。数学的历史是一个巨大的宝库，沉积了无数先哲的方法和思想，在课堂上展示多样化的数学思想方法，既可以让学生学到多种多样的数学思维，为他们创造更多的探究机会，同时古今不同数学思想方法的对比还有利于拓宽学生的数学思维。广义二项式定理正好展示了一个数学问题的推广及其应用，同时也是微积分产生的基石，其体现了微积分产生的核心思想之一。对广义二项式定理的学习有助于学生数学创新思维的培养。

其三，兴趣与情感的增强。将广义二项式定理的数学史融入微积分的教学过程中，有利于培养学生正确的情感、态度和价值观，有利于增强学生学习数学的兴趣、激发学生的学习动机。数学课堂上多元文化的渗透，还可以使学生认识到数学的多样性以及数学与其他学科之间的联系。

总之，将广义二项式定理的数学史融入微积分的教学过程中，可以帮助学生更好地理解和认识微积分。学生不但能够体会到数学知识的起源与发展，还可以获得数学探究的美好体验。

三、教学过程设计

（一）教学前提

以下例题来源于同济大学数学系编《高等数学》（第七版下册）第十二章第四节例6。

例：将函f（x）=（1+x）m展开成x的幂级数，其中m为任意实数。

解：由f （n）（0）=m（m-1）…（m-k+1），n∈N得麦克劳林级数

1+mx+ x2+…+ xk+…，

此级数收敛半径为R= = =1，

设此级数的和函数为F（x），x∈（-1，1），得（1+x）F′（x）=mF（x），F（0）=1，

解得F（x）=（1+x）m，即（1+x）m= Ckmxk，m∈R，x∈（-1，1）。

（二）类比联想

由二项式定理（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N得

（1+x）n= Cknxk，n∈N，x∈R

（三）教师板书

（四）教师提问

1.两个公式有何共同點和区别？

2.微积分方法在此处有何意义？

（五）学生探索

1.公式证明方法不同：公式一可由二项式定理得到，公式二可由广义二项式定理得到；二项式定理的证明可由初等的组合数学方法经过数学归纳法证明，而广义二项式定理的证明需要高等的微积分方法通过幂级数展开证明。

2.公式实用范围不同：公式一要求n∈N，x∈R；公式二要求m∈R，x∈（-1，1）。

（六）教师总结

1.方法的价值：体会初等组合方法与高等微积分方法的不同意义。

2.推广的意义：牛顿推广二项式定理，得到的广义二项式定理，促使他以此为基础发明了微积分。

（七）教师提供课外阅读资料

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》，美国William Dunham著，李伯民、汪军、张怀勇译。

参考文献：

[1]郑玮，郑毓信.HPM与数学教学中的再创造[J].数学教育学报，2013（3）：5-7.

[2]方倩.“二项式定理”：在历史中探源、求法、寻魅[J].教育研究与评论，2016（9）：37-41.

[3]丘维声.用数学的思维方式教数学[J].中国大学教学，2015（1）：9-14.

[4]同济大学数学系.高等数学（第七版下册）[M].北京：高等教育出版社，2014-08.

[5]William Dunham.微积分的历程：从牛顿到勒贝格[M].李伯民，汪军，张怀勇，译.北京：人民邮电出版社，2010-08.

编辑 马燕萍

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