从信息角度看实数加群的自同构

[摘 要] 本文首先说明从信息角度看数学更多的是从哲学的视角来审视。通过一个数学例子:定义(R×R,+)上极小次直积,研究出了它存在的充要条件和性质,并找出了(R,+)的所有自同构,我们可以看到从信息学的视角来重新审视离散数学。

[关键词] 信息学 极小次直积 自同构

一、前言

从一定的意义上说,信息学的数学基础是离散数学,包括集合论、近世代数、图论、形式语言、自动机理论、范畴与函子理论等,但它又不是离散数学的简单应用,而是根据哲学的性质和特点,从新的视角对离散数学进行了深入的挖掘、拓展、赋予新的含义乃至于做了部分新的改造和制作,因而使离散数学具有了许多新质的特征。在信息学的视野中,离散数学的基本概念,像集合、集合间的各种关系、性质(等价、半等价等),抽象的直积空间、映射、多元关系、结构、同态、同构等是适合于哲学对象的,即适合于描述任意的事物和一般事物机理的,而且经过某种改造或转化,可以用来描述辩证的机制。我们可以来关于(R×R,+)上极小次直积及实数加群的自同构来很好的解释广谱哲学,信息学与数学的关系。

二、关于(R×R,+)上极小次直积及实数加群的自同构

1.引言

R×R是我们中学阶段就熟悉的平面直角坐标系,它本身是一个域,为了简化只把它看作是一个加群。

2.次直积定义

子群H≤G=G1×G2×…×Gn称为群G1,G2,…,Gn次直积,如果对于每个i∈{1,2,3,…,n}。H在Gi上投射等于Gi。

3.(R×R,+)上次直积

由次直积定义,可知:如果H≤(R×R,+),并且满足。那么H称为(R×R,+)上次直积。

现记Yx表示当横坐标取x时,纵坐标yx所有取值所组成的集合。显然,对于每个x∈R来说,Yx非空。(否则就投射不满)很可能对于一个x来讲,有多个yx与之相对应。会不会存在这样的次直积呢?它对于任意的x来说,都有。

4.(R×R,+)上极小次直积的定义

称这样的次直积H为(R×R,+)上极小次直积,如果x∈R,都恰有惟一的yx与之相对应。

5.探索极小次直积应满足的条件

假设这样的次直积存在,我们下面具体来寻找其存在的条件。设H是(R×R,+)上极小次直积。建立双射f∶R→R。则H可表示为{(x,f(x))∈R}。这样一来,H在两坐标轴上的投射均为R,只需要H成群。首先要满足加法封闭,(x1,f(x1)),(x2,f(x2))∈H,有(x1,f(x1))+(x2,f(x2))=(x1+x2,f(x1)+f(x2))∈H,而另一方面因为(x1+x2,f(x1+x2∈H)),但是f是双射,可知:1,x2∈H,有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)。那么f(0)=0,说明(0,0)∈H,(x,f(x))∈H,有:(x,f(x))∈H,(0,0)+(x,f(x))=(x,f(x)),从而单位元找到了。对于任意(x,f(x))∈H来说,都存在(-x,f(-x))∈H,使得:(x,f(x))+(-x,f(x-x))=(0,0),故逆元存在。另外,H显然对于加法满足结合律。

6.总结

H是(R×R,+)上极小次直积可得到:H={(x,f(x))∈R,f是R→R上双射,且1,x2∈R,有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)}={(x,f(x))∈R,f∈Aut (R,+,)},反过来,易验证结论也成立。

结论一:(R×R,+)上极小次直积存在,其个数和实数加群上自同构群个数一样。

下面我们来具体研究下实数加群(R,+)上的自同构。

作fx:R→R;r→xr,x∈R,且x≠0。显然fx是R到R上的双射。a,b∈R,有fx(a+b)=xa+xb=fx(a)+fx(b)。故知fx是R到R上的自同构。现构造一集合K={fxfx∶R→R;r→xr,∈R且x≠0,r∈R},下验证K对于乘法成群。(1),fx∈K,有f1fx=fx。(2)fx∈K, fx-1∈K,使fxfx-1=f1;(3)fx,fy∈K,有fxfy(r)=fx(yr)=xyr=fxy(r),r∈R。从而有fxfy=fxy∈K;(4)fx,fy,fz∈K,有fx(fyfz)=fxfyz=fx(yz)=f(xy)z=fxyfz=(fxfy)fz。故集合K是Aut(R,+)的一个子群。假设K是Aut(R,+)真子群,现任取δ∈Aut(R,t)且δ∈K那么有K≤〈δ,K〉≤Aut(R,+)。

现∈(δ,K),那是(R,+)上的自同构,从而t∈R,且t≠0有φ(t)∈R。命(t)=s≠0,(t)=,现记=u∈R且u≠0。那么(t)=fu(t)且(0)=fu(0)故(r)=fu(r),r∈R,那=fu∈K。说明(δ,K),K,δ∈K矛盾。故Aur(R,+)=K,那Aur(R,+)={fxfx∶R→R;r→xr,x∈R且≠0,r∈R}。由此可知(R×R,+)上极小次直集的几何意义。

结论二:在平面直角坐标系中,过原点且不与x,y轴重合的直线穷尽了(R×R,+)上的所有极小次直集。

三、结论

显然,在这里关键是转化条件如何数学地构造出来。对不同的问题,对象有不同的表现形式。在信息学中,我们要从哲学的不同观察水平上探讨“有”与“无”的相互转化,可观性与不可观性的互相转化等。综上所述,我们对离散数学的新视角,不仅使我们对离散数学的理解大大超出了纯数学的范围(已扩展到一般事物机理和哲学对象的范围),而且也使我们对离散数学的理解超出了静态的结构分析的范围,即使我们能够从动态流变的、辩证转化的角度深化和拓展离散数学框架的意义,从而在一定的意义上,促使离散数学成为适用于充分广泛知识谱系(包括哲学谱系)的、具有“无限变化玄机”的数学模式。

参考文献:

[1]张远达:有限群构造[M].北京:科学出版社,1984:13～14

[2]徐明曜:有限群导引[M].北京:科学出版社,1999:1～2

[3]熊全淹:近世代数[M].武汉:武汉大学出版社,2004:46～49

[4]Machale D. Some finite groups which are rarely automorphism group[J].Proc Royal Acad,1983,83A(2):189～196

[5]Flannery, D. and Machale, D. Some finite groups which are rarely automorphism groups[J].Proc Royal Acad,1981,83A(2):189～196

[6]Cayley ,About a special group[J].Amer.J.Math. 1878 30A(1):50～52

推荐访问:自同构 实数 角度看 信息

---