微分代数方程及其在电路理论中应用研究

【摘 要】本文介绍了微分代数方程的概念与特点，发展现状与应用，在此基础上重点论述了微分代数方程在电路理论中的应用，然后在微分方程的扩展领领域，电力系统研究领域、光学研究领域、生态经济学研究领域的应用进行了简要说明。

【关键词】微分代数方程；发展现状；实际应用；电路理论

1 微分代数方程的概念与特点

微分代数方程指的是微分方程和代数方程的组合，可用于表示满足方程表达式的系统，因此也通常被称作微分代数系统，微分代数方程是微分系统对复杂系统进行描述的推广和延伸。

采用数学理论对某现实运动进行精确描述时，不仅需要考虑该运动所遵循的动力学方程，而且需要考虑运动过程条件限制。通常情况下，运动所遵循的动力学方程采用微分方程表示，运动过程条件限制采用代数方程表示。因此，可以认为微分代数方程是精确刻画现实运动的重要工具。

2 微分代数方程的发展现状

虽然微分代数方程的概念在20世纪70年代初期才首次提出，但是在此之前，微分代数方程已经广泛应用于科学与工程技术领域，得到越来越多的科研机构与研究人员的关注。初始阶段，对于微分代数方程的研究主要集中在数值计算方面，将其作为处理复杂系统的工具，在多个学科领域得到了广泛应用。然而，微分代数方程的特性决定了研究人员难以利用处理正常系统的工具和方法对其展开研究工作，因此，虽然针对微分代数方程的理论有所发展，但是相关研究成果仍然较少。

Venkatasubramanian等人基于传统数学理论对微分代数方程的局部分支问题进行了探讨研究，并将研究成果成功应用于电力系统稳定性分析，证明了研究成果对于划定系统稳定平衡点吸引域范围的有效性；Reich基于传统微积分理论对微分代数方程的局部结构理论中相关问题进行了探讨研究，采用微积分理论研究系统的空间几何特性；陈伯山等人对微分代数方程进行了归类，将其划归为受限微分方程，基于传统控制学理论对该类方程的状态空间形式进行了探讨研究，研究成果可用于系统线性化及Hopf分支理论的改进和完善，也对系统解耦问题进行了分析，得到了系统反馈控制所需条件及相关结果。

微分代数方程的研究课题之一即平凡解在李雅普诺夫意义下的稳定性问题，与一般微分方程类似，李雅普诺夫第二方法是判断系统平凡解稳定性的常用方法。Hill在开展有关电力系统暂态稳定性的研究时，对系统稳定性问题进行了探讨，虽然得到了部分研究成果，但由于微分代数方程的特殊性，较难将其应用于一般系统中，因此应用价值较低。

到目前为止，由于微分代数方程的复杂性，针对微分代数方程所开展的研究工作，或者对其进行局部常微分化，进而开展平行于常微分方程的理论研究；或者针对系统的特定形式，推广系统稳定性概念，进而研究各种特定形式下的系统稳定性问题。

3 微分代数方程在电路理论中的应用

作为电路理论中的重要分支，电路分析的目的是计算给定电路模型中部分支路的电流与部分节点的电压，而电路模型所包括的信息有电路拓扑结构、电路元件值、激励源变化形式等。电路分析遵循基尔霍夫定律，主要分为稳态分析和暂态分析。在实际电路分析中，经常会用到不同的微分代数方程，微分代数方程的复杂程度能够在一定程度上反映实际电路模型分析的难易程度。

一阶动态电路的时域分析或者二阶动态电路的时域分析，依据电路约束条件可以建立系统换路后以所求变量为未知量的微分方程，再结合由初始条件转换得到的代数方程，构成微分代数方程。对于一般的RLC低阶动态电路，微分方程与代数方程的数量较少，可以利用基本的数学理论和电路理论进行求解计算。

高阶动态电路的时域分析，建立微分方程与代数方程存在困难，因此高阶动态电路对应的高阶微分代数方程通常利用计算机进行建立和求解，需要提供电路模型中各元件的连接关系、类型、参数以及支路关联参考方向等信息即可获取电路的计算结果，方便快捷。

4 微分代数方程的扩展应用

在电力系统研究领域，可以利用李雅普诺夫函数方法求解有关微分代数方程所代表的混杂系统稳定性问题，为电力系统的分析研究提供全新的工具与方法。

在光学研究领域，微分代数方程与计算机技术结合可以求解得到函数任意阶导数，在带电粒子光学有关轨迹跟踪、灵敏度分析、结构优化等方面具有广阔的应用前景。

在生态经济学研究领域，原有的经济学理论模型与微分代数方程结合建立生态经济学微分代数系统，可以用于研究系统的稳定性及分支问题等，以获取系统相关特性。

微分代数方程也在不断推动其他科学与工程应用领域的发展，大量的研究成果吸引了更多的研究学者投入到该领域的探索中。相信在不久的将来，微分代数方程的研究和应用必将产生质的飞跃。

5 结束语

通过本文的介绍，阐述了微分代数方程的概念与特点、发展现状与应用以及相关电路理论的发展现状。本文可以使读者对上述理论有大致了解和初步认识，感悟微分代数方程理论对科学与工程应用发展的推动作用。相信微分代数方程理论的不断发展与完善，能够不断推动科学技术的变革与进步。

【参考文献】

[1]Venkatasubramanian V， Schattler H， Aboorszky J. Local Bifurcations and feasibility regions in differential algebraic systems[J]. IEEE Trans. Automatic Control， 1995， 40（12）： 1992-2013.

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[3]陈伯山，廖晓昕，刘永清.非线性微分代数系统的标准型和分支[J].应用数学学报，2000，23（3）：429-443.

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[責任编辑：朱丽娜]

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