产品最优求解问题中运筹学方法的应用

计划、物资调用、资源优化配置等方面。作为生产经营管理者，常常会遇到的这类问题：一是如何有效协调、解决劳动力、资金等资源条件之间矛盾，争取资源最大效益化；二是针对某一特定的工作目标时，如何合理组织生产，安排工艺流程，调整产品的成份，以使资源消耗最少。

例1：多品种多步骤产品最优利润求解模型研究

某生产车间生产甲、乙两种产品，每件产品都要经过两道工序，即在设备A和设备B上加工，但两种产品的单位利润却不相同。已知生产单位产品所需的有效时间（单位：小时）及利润见表1。问生产甲、乙两种产品各多少件，才能使所获利润最大。

分析：该问题所需确定的是甲、乙两种产品的产量，先建立其数学模型。

设x1，x2分别表示产品甲和产品乙的产量，x1，x2称为决策变量，根据问题所给的条件有

上述问题要确定的目标是：如何确定产量x1和x2，才能使所获利润为最大。利润的获取和x1，x2密切相关，以f表示利润，则得到一个线性函数式

所给问题的目标是要使线性函数f取得最大值，即目标函数是

以上是决策变量x1，x2受限的条件，把它们合起来称之为约束条件。

则本例的数学模型可归结为：

引入松驰变量x3，x4，将问题化为标准形式：

目标函数改写为

将约束条件的增广矩阵和改写后的目标函数的系数填入下表中，得到的表称为单纯形表：

因表1中检验数非正，得最优解，除去松驰变量后得；它表示：甲产品生产10件，乙产品生产15件时，最大利润为1100元。

3 产品最优产量求解问题中运筹放得运用

事物的发展往往复杂的、多变的，线性规划和单纯形法不能解决一些复杂问题，因此动态规划逐渐发展成为运筹学的一个分支。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。对于经济管理中法最短路线、资源分配、设备更新、库存管理、装载等问题，用动态规划方法可以很方便地求解。当然，动态规划也不是万能的，有它的局限性，适合用动态规划解决问题必须满足最优化原理和无后效性法的条件。

例2：不同产品负荷下最优产量动态规划研究

某工厂购进1000台机床，每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产，在高负荷下生产的产量函数为g（x）=10x（单位：百件），其中x为投入生产的机床数量，年完好率为；在低负荷下生产的产量函数为h（y）=6y（单位：百件），其中y为投人生产的机床数量，年完好率为b=0.9。计划连续使用5年，试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划，使在五年内生产的产品总产量达到最高。

分析：状态变量sk取为第k年度度初具有的完好机床台数。

决策变量xk为第k年度中分配在高负荷下生产的机器台数，则为第k年度中分配在低负荷下生产的机器台数（假定xk、sk皆为连续变量）。

状态转移方方程为：

第k年度的产量为：

最优值函数表示拥有机床数为sk时，从第k年度至第五年度采取最优分配方案进行生产时所获得的最大总产量。

则动态规划的基本方程为：

再从第5年度开始，用逆推归纳法进行计算。

计算结果表明：最优策略为

。

即头两年应该把年初全部机床投入低负荷生产，后三年应该把年初全部机床投入高负荷生产。这样会使产量最高，最高产量为29139百件产品。而且，从求解的过程中反过来就能确定每年年初的状态，即每年年初所拥有的完好机器台数。已知s1=1000，于是可得如下结论：第一年将1000台机器全部投入到低负荷下进行生产，第一年末机床完好数是900台，第二年将900台机器继续投入到低负荷下进行生产，第二年末机床完好数是810台，第三年将810台机床全部投入到高负荷下进行生产，第三年末机床完好数是567台，第四年将567台机床全部投入到高负荷下进行生产，第四年末机床完好数是397台，第五年将397台机床投入到高负荷下进行生产，这样第五年末剩下的完好机床数是278台，五年生产产品总数为29139（百件）。

随着科学和经济的发展和进步，运筹学也不断的发展完善成为近代应用数学的一个重要分支，它将生产经营中的一些难以解决的问题模型化，然后用运筹学的方法加以解决，为决策者提供定量、定性分析，帮助决策者做出最优决策。

参考文献

[1]何坚勇编著.运筹学基础[M].北京：清华大学出版社，2000.

[2]赵凤至，最优化计算方法.上海：上海科学技术出版社，1983.

[3]运筹学教材编写组.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005.

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