线性规划应用一例

摘 要:线性规划在生活的各个方面都有应用,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.而在数学问题中,线性规划也有与其他知识点之间的联系,比如与不等式、概率等问题的联系,本文用几个例子来简要叙述一下应用线性规划来解决概率的一类问题。

关键词:线性规划 概率

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.决

策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.而此类问题在课本中已经有了很多体现,在此笔者不再赘述.本文中,笔者想叙述线性规划应用的一种情况,就是用线性规划的方法解决一类概率问题.此类概率问题一般是几何概率的问题.

请看下面两例:

例1.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.

稍加分析我们不难发现,本题中显然不是一个变量,而是两个变量,即甲、乙各自到达约会地点的时间,所以可以假设两个变量.那么可以在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由x-y≤15

所对应的图中阴影部分表示.

反思说明:

(1)三角形三边长度都是在0到l之间,故每一对结果对应三条边长,分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中三角形内的任一点;

(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来分别计算面积即可;

(3)本题的难点是把三条边长分别用x,y两个坐标分别表示,构成平面内的点(x,y),从而把边长是一段长度问题转化为平面图形中的线性规划问题,转化成面积为测度的几何概型的问题.

但是对于类似问题我们一定要注意是否是以面积为测度的概率问题,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下图,从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、……第八组[190,195),下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法显然是错误的,问题出在哪儿呢?主要是人的个数不是连续的,而是只能取自然数,所以本题并非几何概率,而是古典概型的概率问题.正确的解法为:

我们研究数学问题,除了纵向的、深入的研究问题以外,还应该注重各知识点的横向联系,此例就是横向的将两个知识点——线性规划与概率相结合,要注意此类问题的解决方法.

作者单位:江苏省南京市玄武区第九中学震旦校区

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