论线性规划在求解最值中的应用

在高中数学的学习过程中，求解最值是一大重点和难点，也是每年高考的一大热点，题型和方法多种多样。而利用线性规划求解最值也是我们常运用的一种较简单的手段，它需要学生建立数形结合，转化与化归的思想，而且还能体现学生的综合分析能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，故本文就对利用线性规划求解最值问题进行浅析。

（题型一）求与目标函数有关的最值问题：

当目标函数的关系式如（）时，可把目标函数变形为

，则目标函数表示斜率为，上的截距为的直线l，然后通过平移寻找最优解.一般步骤如下：（1）作出可行域；（2）平移目标函数的直线系，根据截距求出最优解.

例1. 已知实数x、y满足 则求目标函数z=x-2y的最小值. 【解析】画出满足不等式组的可行域如下图：

目标函数化为：-z，画直线及其平行線，可知当此直线经过点A时，-z的值最大，z的值最小，解方程组得到A点的坐标为（3，6），所以，z的最小值为：3-2×6=-9。

（题型二）求比值的最值问题：

当目标函数形如时，可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为连线斜率的最值。

例2 设实数满足，则求的最大值.

【解析】画出不等式组所确定的平面区域如下图，

表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由上图可以看出直线的斜率最大，故为与的交点，即A点.

∴.故的最大值为.

（题型三）求与距离有关的最值问题：

当目标函数形如时，可把z看作是定点与动点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为距离平方的最值。

例3.已知，求的最小值.

【解析】作出可行域如下图：

并求出顶点的坐标，而表示定点到可行域内任一点的距离的平方，过定点作直线的垂线，易知垂足在线段上，故z的最小值是.

（题型四）求与截距有关的最值问题：

例4.不等式组表示的平面区域面积为81，求的最小值.

【解析】由可行域的面积为81求出，作出可行域如下图：

令，则此式变形为，z可看作是动抛物线在y轴上的截距，当此抛物线与相切时z最小，故联立方程组，得到方程，，得到答案。

利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。

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