圆锥曲线与其他知识交汇

高考中常出现多个知识点结合的问题，解析几何往往也可以与其他知识相结合，且各种题型均有可能出现，要求较高.

（1）与数列结合的圆锥曲线问题.

（2）与向量结合的圆锥曲线问题.

（3）与导数结合的圆锥曲线问题.

（4）与基本不等式结合的圆锥曲线问题.

解决此类问题，关键在于能否“透过现象看本质”，从而选择相应方法求解.

例1 设圆x2+（y-1）2=1的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为_________.

破解思路 本题涉及最值问题，可以考虑利用导数来研究.

答案详解 设直线l与坐标轴的交点分别为A（a，0），B（0，b），显然a>1，b>2，则可得直线l： + =1.

依题意， =1，即 + = - +1，所以a2= ，所以AB2=a2+b2= +b2. 设f（x）= +x2，则f ′（x）= +2x= = = （x>2）. 设f ′（x）=0，则可得x1=1，x2= ，x3= .

又x>2，故当x∈（2，x3）时， f（x）单调递减；当x∈（x3，+∞）时， f（x）单调递增. 所以当b= ，a2= = +2时，AB有最小值. 故答案为 .

例2 已知圆心在原点的圆O与直线x- y=4相切.

（1）求圆O的方程；

（2）若圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使 ， ， 成等比数列，求 · 的取值范围.

破解思路 本题涉及向量的模以及等比数列的相关概念，解题的关键在于能够把这些知识转化为相应的代数条件.

答案详解 （1）圆O的半径r=d= = =2，所以圆O的方程为x2+y2=4.

（2）在x2+y2=4中，令y=0，得x=±2，所以A（-2，0），B（2，0）. 设P（x0，y0）是圆O内任一点，则x20+y20≤4.？摇又由 2= · ，得x20+y20= · ，？摇整理后得x20-y20=2. 所以 · =（x0+2，y0）·（x0-2，y0）=x20+y20-4=2（y20-1）. 因为P在圆O内，所以 · <0，所以 · ∈[-2，0），其中0≤y20<1.

已知 + =1（a>0，b>0），则点（0，b）到直线x-2y-a=0的距离的最小值为________.

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